Considere um sistema massa-mola, massa , constante elástica . O bloco é deslocado, esticando a mola de em relação a sua posição de equilíbrio. Neste instante se imprime uma velocidade na intenção de comprimir a mola. Com estas condições iniciais determine a amplitude e a fase do movimento e escreva a equação do deslocamento como função do tempo. (Deixe clara a adoção dos sentidos e o porque dos sinais que você utilizou.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema massa-mola onde uma massa está presa a uma mola com constante elástica . A mola está sendo esticada em da posição de equilíbrio e, nesse instante, a massa ganha uma velocidade na direção de comprimir a mola. Nosso objetivo é descobrir a amplitude do movimento, a fase e escrever a equação do deslocamento em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e equações diferenciais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um sistema massa-mola sem atrito realiza um movimento harmônico simples (MHS). A equação geral do MHS é:
Onde:
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Precisamos determinar e usando as condições iniciais fornecidas: e .

Passo 3

Vamos aplicar as condições iniciais na equação geral e na derivada dela. Primeiro, a posição no tempo zero:
E a velocidade é a derivada de :
Aplicando a condição :
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Primeiro, podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :
Assim,
Portanto,
Agora, para encontrar , usamos a primeira equação:
Sabendo que , substituímos :

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a equação do deslocamento:
Substituindo e :

Resposta

A amplitude do movimento é , a fase é , e a equação do deslocamento em função do tempo é:

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Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a . Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a amplitude cai pela metade após um tempo , determine a perda de energia após este mesmo tempo.
Um sistema é considerado amortecido quando a amplitude do movimento cai com o tempo. Há várias formas de incluir uma força de amortecimento, a mais comum e simples de se resolver do ponto de vista da EDO resultante é quando observamos uma força proporcional a . Para este caso resolva a EDO de um sistema massa-mola amortecido. Considere o caso sub-crítico. Se a energia cai pela metade após um tempo , determine a amplitude após este mesmo tempo.