Considere um sistema massa-mola, massa m, constante elástica k. O bloco é deslocado, esticando a mola de x0 em relação a sua posição de equilíbrio. Neste instante se imprime uma velocidade v0 na intenção de comprimir a mola. Com estas condições iniciais determine a amplitude e a fase do movimento e escreva a equação do deslocamento como função do tempo. (Deixe clara a adoção dos sentidos e o porque dos sinais que você utilizou.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema massa-mola onde uma massa está presa a uma mola com constante elástica . A mola está sendo esticada em da posição de equilíbrio e, nesse instante, a massa ganha uma velocidade na direção de comprimir a mola. Nosso objetivo é descobrir a amplitude do movimento, a fase e escrever a equação do deslocamento em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e equações diferenciais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um sistema massa-mola sem atrito realiza um movimento harmônico simples (MHS). A equação geral do MHS é:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Precisamos determinar e usando as condições iniciais fornecidas: e .

Passo 3

Vamos aplicar as condições iniciais na equação geral e na derivada dela. Primeiro, a posição no tempo zero:
x(0) = A cos(phi) = x0
E a velocidade é a derivada de v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t + phi) :
v(0) = -A omega sin(phi) = v0
Aplicando a condição A cos(phi) = x0 -A omega sin(phi) = v0 :
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar -A omega sin(phi)A cos(phi) = v0x0 implies -omega tan(phi) = v0x0 e tan(phi) = -v0x0 omega . Primeiro, podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar phi = arctan(-v0x0 omega) :
A = x0cos(phi)
Assim,
A = x0 raiz1 + (v0x0 omega)^2 = raizx0^2 + (v0omega)^2
Portanto,
Agora, para encontrar , usamos a primeira equação:
Sabendo que , substituímos :

Passo 5

Agora que temos x(t) = A cos(omega t + phi) e x(t) = raizx0^2 + (v0omega)^2 cos(omega t + arctan(-v0x0 omega)) , podemos escrever a equação do deslocamento:
Substituindo e :

Resposta

A amplitude do movimento é x(t) = raizx0^2 + (v0raizkm)^2 cos(raizkm, t + arctan(-v0x0 raizkm)) , a fase é , e a equação do deslocamento em função do tempo é:

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