Considere um sistema massa-mola, massa
, constante elástica
. O bloco é deslocado, esticando a mola de
em relação a sua posição de equilíbrio. Neste instante se imprime uma velocidade
na intenção de comprimir a mola. Com estas condições iniciais determine a amplitude e a fase do movimento e escreva a equação do deslocamento como função do tempo. (Deixe clara a adoção dos sentidos e o porque dos sinais que você utilizou.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema massa-mola onde uma massa
está presa a uma mola com constante elástica
. A mola está sendo esticada em
da posição de equilíbrio e, nesse instante, a massa ganha uma velocidade
na direção de comprimir a mola. Nosso objetivo é descobrir a amplitude do movimento, a fase e escrever a equação do deslocamento em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples e equações diferenciais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um sistema massa-mola sem atrito realiza um movimento harmônico simples (MHS). A equação geral do MHS é:
Onde:
-
é a amplitude, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Precisamos determinar
e
usando as condições iniciais fornecidas:
e
.
Passo 3
Vamos aplicar as condições iniciais na equação geral e na derivada dela. Primeiro, a posição no tempo zero:
E a velocidade é a derivada de
:
Aplicando a condição
:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Primeiro, podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Assim,
Portanto,
Agora, para encontrar
, usamos a primeira equação:
Sabendo que
, substituímos
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação do deslocamento:
Substituindo
e
:
Resposta
A amplitude do movimento é
, a fase é
, e a equação do deslocamento em função do tempo é: