1^a Questão: Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto A. Um terceiro cabó AC é usado para sustentação. Determine a tração em AC e a resultante, sabendo que a resultante das três forças aplicadas em A deve ser vertical. (2,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois cabos com trações conhecidas presos no ponto A e um terceiro cabo, o AC, que está sustentando tudo. A gente precisa descobrir qual é a tração no cabo AC e qual a resultante das três forças no ponto A, sabendo que essa resultante deve ser vertical. Basicamente, vamos trabalhar com equilíbrio de forças e vetores de tração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando várias forças estão atuando sobre um ponto e a resultante delas deve ser vertical, isso significa que a soma das forças horizontais deve ser zero e a soma das forças verticais deve igualar a força resultante vertical.

Passo 3

Vamos identificar as forças envolvidas. Temos duas trações conhecidas nos cabos que chamaremos de T₁ e T₂, aplicadas em direções específicas. O cabo AC tem uma tração que vamos chamar de T_AC, e precisamos encontrar essa força.

Passo 4

Como a resultante é vertical, não pode ter componente horizontal. Portanto, a soma das componentes horizontais das trações T₁, T₂ e T_AC deve ser igual a zero:
sum Fx = 0

Passo 5

Da mesma forma, a soma das componentes verticais deve ser igual à resultante vertical R:
sum Fy = R

Passo 6

Vamos decompor cada tração nas suas componentes horizontal e vertical. Suponha que os cabos formem ângulos θ₁ e θ₂ com a horizontal. Então:
Para T₁:
T1x = T₁ cos(theta₁)
T1y = T₁ sin(theta₁)
Para T₂:
T2x = T₂ cos(theta₂)
T2y = T₂ sin(theta₂)
E para T_AC, vamos chamar o ângulo com a horizontal de θ_AC:
TACx = TAC cos(thetaAC)
TACy = TAC sin(thetaAC)

Passo 7

Como queremos que a soma das componentes horizontais seja zero:
T1x + T2x + TACx = 0
T₁ cos(theta₁) + T₂ cos(theta₂) + TAC cos(thetaAC) = 0

Passo 8

Isolamos T_AC na equação de componentes horizontais:
TAC cos(thetaAC) = - (T₁ cos(theta₁) + T₂ cos(theta₂))
TAC = - T₁ cos(theta₁) + T₂ cos(theta₂)cos(thetaAC)

Passo 9

Agora, usamos a equação das componentes verticais para encontrar a resultante R:
R = T1y + T2y + TACy
R = T₁ sin(theta₁) + T₂ sin(theta₂) + TAC sin(thetaAC)

Passo 10

Substituímos T_AC da Passo 8 na equação da Passo 9:
R = T₁ sin(theta₁) + T₂ sin(theta₂) - T₁ cos(theta₁) + T₂ cos(theta₂)cos(thetaAC) sin(thetaAC)

Resposta

A tração no cabo AC é dada por:
TAC = - T₁ cos(theta₁) + T₂ cos(theta₂)cos(thetaAC)
E a resultante vertical R é:
R = T₁ sin(theta₁) + T₂ sin(theta₂) - T₁ cos(theta₁) + T₂ cos(theta₂)cos(thetaAC) sin(thetaAC)

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