Em um sistema formado por 6 partículas de massas iguais posicionadas nos vértices de um hexágono. a posicâo do centro de massa é o centro do hexágono. Se duas partículas em 2 vértices opostos cìo suhstituidas por outras duas, cada uma com o dobro da massa inicial, o centro de masra do siftema es deslocado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um sistema com 6 partículas de massas iguais, todas colocadas nos vértices de um hexágono regular. O centro de massa desse sistema tá no centro do hexágono. Agora, se a gente substituir duas partículas que estão em vértices opostos por outras duas, cada uma com o dobro da massa inicial, a pergunta é: o centro de massa do sistema vai se deslocar?
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é o centro de massa e como ele é calculado. O centro de massa é como o “ponto médio” onde toda a massa do sistema parece estar concentrada. A gente vai precisar usar as coordenadas das partículas e calcular o novo centro de massa após a substituição das massas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um sistema de coordenadas para facilitar os cálculos. Vamos imaginar que o hexágono está centrado na origem (0,0) e que cada vértice está igualmente espaçado ao redor do centro. Assim, as posições dos 6 vértices podem ser representadas em coordenadas cartesianas.
Se considerarmos que o raio do hexágono é V1 &= (R, 0) V2 &= (R2, Rraiz32) V3 &= (-R2, Rraiz32) V4 &= (-R, 0) V5 &= (-R2, -Rraiz32) V6 &= (R2, -Rraiz32) , as coordenadas dos vértices serão:

Passo 3

Agora, vamos calcular o centro de massa inicial do sistema. Como todas as partículas têm a mesma massa Centro de Massa , (Xcm, Ycm) = ( sum mi xisum mi, sum mi yisum mi ) e estão distribuídas simetricamente, o centro de massa está na origem (0,0). Mas vamos confirmar isso usando a fórmula do centro de massa:
Como todas as massas são iguais e simétricas, as somas de e vão cancelar, resultando em e .

Passo 4

Agora, vamos fazer a substituição das duas partículas em vértices opostos por novas partículas com o dobro da massa. Vamos supor que substituímos as partículas em V1 &= (R, 0) com massa 2m V2 &= (R2, Rraiz32) com massa m V3 &= (-R2, Rraiz32) com massa m V4 &= (-R, 0) com massa 2m V5 &= (-R2, -Rraiz32) com massa m V6 &= (R2, -Rraiz32) com massa m e . Então, as massas nesses vértices passam de para .
As novas massas e posições são:

Passo 5

Vamos recalcular o centro de massa com as novas massas. Usando a mesma fórmula:
Xcm &= (2m)(R) + m(R2) + m(-R2) + (2m)(-R) + m(-R2) + m(R2)2m + m + m + 2m + m + m &= 2mR + mR2 - mR2 - 2mR - mR2 + mR28m &= 08m &= 0
Fazendo o mesmo para Ycm &= (2m)(0) + m(Rraiz32) + m(Rraiz32) + (2m)(0) + m(-Rraiz32) + m(-Rraiz32)8m &= 0 + mRraiz32 + mRraiz32 + 0 - mRraiz32 - mRraiz328m &= 08m &= 0 :

Resposta

O centro de massa do sistema não se desloca; ele continua no centro do hexágono.

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