Um sistema é formado por três partículas de mesma massa, inicialmente em repouso, posicionadas, respectivamente, em ( 0,0 ), (-1,2), (1,-2). Uma força F=2 imath(N) passa a atuar sobre m1.
a. Qual a aceleração de m1 e para ond e ela se move?
b. Qual a aceleração do centro de massa e para onde ele se move?
c. Qual o momento linear do sistema de partículas antes e depois da aplicação da força?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema com três partículas de mesma massa, todas paradas inicialmente, posicionadas nos pontos (0,0), (-1,2) e (1,-2). Uma força F = 2, imath Newtons é aplicada na partícula m1, que está na posição (0,0). A questão está dividida em três partes:
a. Encontrar a aceleração de m1 e a direção do movimento dela.
b. Determinar a aceleração do centro de massa do sistema e para onde ele se move.
c. Calcular o momento linear do sistema antes e depois da aplicação da força.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Newton da segunda lei para aceleração, o cálculo do centro de massa e entendimento de momento linear (ou quantidade de movimento).

Passo 2

Vamos começar com a parte a, que pede a aceleração de m1 e a direção do seu movimento.
Primeiro, lembra da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante em um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração:
F = m a
Queremos encontrar a, então rearranjamos a equação:
a = Fm
Como a força aplicada em m1 é F = 2, imath N, e assumindo que m1 tem uma massa m, a aceleração de m1 será:
am1 = 2, imathm = 2m, imath , m/s^2
A direção dessa aceleração está na direção do vetor unitário imath, que corresponde ao eixo x positivo. Portanto, m1 vai acelerar na direção positiva do eixo x.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b, que envolve o centro de massa do sistema.
Primeiro, precisamos encontrar a posição do centro de massa (xcm, ycm). A fórmula para o centro de massa de um sistema de partículas é:
xcm = 1M sum mi xi e ycm = 1M sum mi yi
Onde M é a massa total do sistema e (xi, yi) são as posições das partículas.
Já que todas as massas são iguais e iguais a m, a soma das massas é M = 3m. As posições são:
  • m1: (0,0)
  • m2: (-1,2)
  • m3: (1,-2)
Calculando xcm:
xcm = 13m (m cdot 0 + m cdot (-1) + m cdot 1) = 13m (0 - m + m) = 0
E ycm:
ycm = 13m (m cdot 0 + m cdot 2 + m cdot (-2)) = 13m (0 + 2m - 2m) = 0
Então, o centro de massa está na posição (0,0).
Agora, para encontrar a aceleração do centro de massa, usamos a segunda lei aplicada ao sistema inteiro. A força total no sistema é a força aplicada em m1, que é F = 2, imath N. A aceleração do centro de massa é então:
acm = FtotalM = 2, imath3m = 23m, imath , m/s^2
A direção dessa aceleração também está na direção positiva do eixo x, já que a força aplicada está nessa direção.

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte c, que pede o momento linear do sistema antes e depois da aplicação da força.
O momento linear p de uma partícula é dado por:
p = m v
Antes da aplicação da força, todas as partículas estão em repouso, então suas velocidades são zero. Portanto, o momento linear total do sistema antes da força é:
pantes = m cdot 0 + m cdot 0 + m cdot 0 = 0
Depois da aplicação da força, precisamos considerar que apenas m1 está sendo acelerada pela força. A velocidade de m1 após um certo tempo t será:
vm1 = am1 t = 2m, imath , t
As partículas m2 e m3 continuam em repouso, pois não há força atuando nelas. Então, o momento linear total após a aplicação da força é:
pdepois = m cdot 2m, imath , t + m cdot 0 + m cdot 0 = 2, imath , t
Isso mostra que o momento linear do sistema antes da força era zero e, após a aplicação da força, ele aumenta na direção positiva do eixo x proporcional ao tempo.

Resposta

a. A aceleração de m1 é 2m, imath, m/s^2 e ela se move na direção positiva do eixo x.
b. A aceleração do centro de massa é 23m, imath, m/s^2 e ele também se move na direção positiva do eixo x.
c. O momento linear do sistema antes da força é zero, e após a aplicação da força é 2, imath, t kg·m/s.

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