Um sistema é formado por três partículas de mesma massa, inicialmente em repouso, posicionadas, respectivamente, em ( 0,0 ), (-1,2), (1,-2). Uma força
passa a atuar sobre m1.
a. Qual a aceleração de m1 e para ond e ela se move?
b. Qual a aceleração do centro de massa e para onde ele se move?
c. Qual o momento linear do sistema de partículas antes e depois da aplicação da força?
a. Qual a aceleração de m1 e para ond e ela se move?
b. Qual a aceleração do centro de massa e para onde ele se move?
c. Qual o momento linear do sistema de partículas antes e depois da aplicação da força?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema com três partículas de mesma massa, todas paradas inicialmente, posicionadas nos pontos (0,0), (-1,2) e (1,-2). Uma força
Newtons é aplicada na partícula m1, que está na posição (0,0). A questão está dividida em três partes:
a. Encontrar a aceleração de m1 e a direção do movimento dela.
b. Determinar a aceleração do centro de massa do sistema e para onde ele se move.
c. Calcular o momento linear do sistema antes e depois da aplicação da força.
b. Determinar a aceleração do centro de massa do sistema e para onde ele se move.
c. Calcular o momento linear do sistema antes e depois da aplicação da força.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Newton da segunda lei para aceleração, o cálculo do centro de massa e entendimento de momento linear (ou quantidade de movimento).
Passo 2
Vamos começar com a parte a, que pede a aceleração de m1 e a direção do seu movimento.
Primeiro, lembra da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante em um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
Como a força aplicada em m1 é
N, e assumindo que m1 tem uma massa
, a aceleração de m1 será:
A direção dessa aceleração está na direção do vetor unitário
, que corresponde ao eixo x positivo. Portanto, m1 vai acelerar na direção positiva do eixo x.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b, que envolve o centro de massa do sistema.
Primeiro, precisamos encontrar a posição do centro de massa
. A fórmula para o centro de massa de um sistema de partículas é:
Onde
é a massa total do sistema e
são as posições das partículas.
Já que todas as massas são iguais e iguais a
, a soma das massas é
. As posições são:
- m1: (0,0)
- m2: (-1,2)
- m3: (1,-2)
Calculando
:
E
:
Então, o centro de massa está na posição (0,0).
Agora, para encontrar a aceleração do centro de massa, usamos a segunda lei aplicada ao sistema inteiro. A força total no sistema é a força aplicada em m1, que é
N. A aceleração do centro de massa é então:
A direção dessa aceleração também está na direção positiva do eixo x, já que a força aplicada está nessa direção.
Passo 4
Finalmente, vamos para a parte c, que pede o momento linear do sistema antes e depois da aplicação da força.
O momento linear
de uma partícula é dado por:
Antes da aplicação da força, todas as partículas estão em repouso, então suas velocidades são zero. Portanto, o momento linear total do sistema antes da força é:
Depois da aplicação da força, precisamos considerar que apenas m1 está sendo acelerada pela força. A velocidade de m1 após um certo tempo
será:
As partículas m2 e m3 continuam em repouso, pois não há força atuando nelas. Então, o momento linear total após a aplicação da força é:
Isso mostra que o momento linear do sistema antes da força era zero e, após a aplicação da força, ele aumenta na direção positiva do eixo x proporcional ao tempo.
Resposta
a. A aceleração de m1 é
e ela se move na direção positiva do eixo x.
b. A aceleração do centro de massa é
e ele também se move na direção positiva do eixo x.
c. O momento linear do sistema antes da força é zero, e após a aplicação da força é
kg·m/s.
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