Uma linha de transmissão sem perdas de 60 Omega é conectada a um gerador, que tem Vg= 10 ang<= 0^circ Vr m s e Zg=60-j 40 Omega e é terminada por uma carga de j 40 Omega. Se a linha tem um comprimento de 100 metros e beta=0,25 rad / m, calcule a impedância de entrada e a tensão: Na extremidade de transmissão;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica de 60, Omega. Ela está conectada a um gerador que fornece uma tensão de 10 ang<= 0^circ , Vrms e tem uma impedância interna de Zg = 60 - j40, Omega. A linha de transmissão termina em uma carga de j40, Omega. A linha tem um comprimento de 100 metros e uma constante de propagação beta = 0,25, rad/m. Precisamos calcular duas coisas:
  1. A impedância de entrada da linha de transmissão.
  2. A tensão na extremidade de entrada da linha de transmissão.
Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de linhas de transmissão, especialmente a fórmula para impedância de entrada e para a tensão na entrada, considerando o efeito da linha de transmissão no sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a impedância de entrada da linha de transmissão. A fórmula para a impedância de entrada Zin de uma linha de transmissão com comprimento l, impedância característica Z0, e impedância de carga ZL é:
Zin = Z0 ZL + j Z0 tan(beta l)Z0 + j ZL tan(beta l)
Aqui, Z0 = 60, Omega, ZL = j40, Omega, beta = 0,25, rad/m, e l = 100, m.

Passo 3

Vamos calcular primeiro o termo beta l:
beta l = 0,25, rad/m times 100, m = 25, rad
Agora, precisamos calcular tan(25, rad). Como a tangente de um ângulo grande pode ser complicada, vamos usar uma calculadora para encontrar:
tan(25) approx 0,132

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula de Zin:
Zin = 60 j40 + j60 times 0,13260 + jj40 times 0,132
Simplificando:
Zin = 60 j40 + j7,9260 + j(40)(0,132)
Zin = 60 j47,9260 + j5,28

Passo 5

Agora, vamos multiplicar numerador e denominador por 60 - j5,28 para racionalizar o denominador:
Zin = 60 times j47,92 times (60 - j5,28)60^2 + (5,28)^2
Calculando o denominador:
60^2 + 5,28^2 = 3600 + 27,878 = 3627,878
No numerador:
j47,92 times 60 = j2875,2
j47,92 times (-j5,28) = 47,92 times 5,28 = 253,6176
Rightarrow j2875,2 + 253,6176 = 253,6176 + j2875,2

Passo 6

Agora, substituindo de volta:
Zin = 60 times 253,6176 + j2875,23627,878
Dividindo cada termo pelo denominador:
253,61763627,878 approx 0,07
2875,23627,878 approx 0,793
Então:
Zin = 60 times (0,07 + j0,793) = 4,2 + j47,58, Omega

Passo 7

Agora que temos a impedância de entrada Zin = 4,2 + j47,58, Omega, vamos calcular a tensão na extremidade de entrada da linha de transmissão.
A tensão na entrada Vin pode ser calculada usando a divisão de tensão considerando a impedância do gerador Zg e a impedância de entrada da linha Zin:
Vin = Vg times ZinZg + Zin
Onde Vg = 10 ang<= 0^circ , V e Zg = 60 - j40, Omega.

Passo 8

Primeiro, vamos somar Zg e Zin:
Zg + Zin = (60 - j40) + (4,2 + j47,58) = 64,2 + j7,58, Omega
Agora, calculamos a razão ZinZg + Zin:
4,2 + j47,5864,2 + j7,58
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
(4,2 + j47,58)(64,2 - j7,58)64,2^2 + 7,58^2
Calculando o denominador:
64,2^2 + 7,58^2 = 4121,64 + 57,5044 = 4179,1444
No numerador:
4,2 times 64,2 = 269,64
4,2 times (-j7,58) = -j31,916
j47,58 times 64,2 = j3056,436
j47,58 times (-j7,58) = 47,58 times 7,58 = 361,4664
Rightarrow 269,64 - j31,916 + j3056,436 + 361,4664 = 631,1064 + j3024,52

Passo 9

Agora, temos:
631,1064 + j3024,524179,1444 approx 0,151 + j0,724
Portanto:
Vin = 10 ang<= 0^circ times (0,151 + j0,724)
Para encontrar a magnitude, usamos:
|Vin| = 10 times raiz0,151^2 + 0,724^2 approx 10 times raiz0,0228 + 0,5242 approx 10 times raiz0,547 approx 10 times 0,739 approx 7,39, V

Resposta

A impedância de entrada da linha de transmissão é aproximadamente 4,2 + j47,58, Omega e a tensão na extremidade de entrada é cerca de 7,39, V.

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