Suponha que m 1=2 kg tem velocidade inicial v1o=5 imath(m / s) e que outra massa m 2= 10 kg está em repouso. A massa m 1 se choca de raspão com m 2 de modo que as direções de movimento após o choque fazem um ângulo de 80^circ e 10^circ, respectivamente, com a direção inicial. Se o choque é elástico, encontre as velocidades finais das duas massas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos duas massas, a m₁ de 2 kg que está se movendo inicialmente com uma velocidade de 5 m/s na direção horizontal, e a m₂ de 10 kg que está parada. Quando m₁ bate de raspão em m₂, após o choque, elas seguem direções que fazem ângulos de 80° e 10°, respectivamente, com a direção inicial. O choque é elástico, o que significa que tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são conservadas. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de conservação de quantidade de movimento e conservação de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a conservação da quantidade de movimento. Como o choque é bidimensional, precisamos considerar as componentes horizontal (x) e vertical (y) da quantidade de movimento separadamente.
A quantidade de movimento inicial está toda na direção x, já que m₂ está parada. Matemáticamente, isso fica assim:
m1 cdot v1o = m1 cdot v1 cdot cos(80°) + m2 cdot v2 cdot cos(10°)
E na direção y:
0 = m1 cdot v1 cdot sin(80°) - m2 cdot v2 cdot sin(10°)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação da energia cinética, já que o choque é elástico. A energia cinética inicial só está na m₁, e depois do choque, está distribuída entre as duas massas:
12 m1 cdot v1o^2 = 12 m1 cdot v1^2 + 12 m2 cdot v2^2

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas: v₁ e v₂. Para resolver, podemos simplificar o sistema usando as duas equações da conservação da quantidade de movimento e resolver para uma das velocidades.
Primeiro, vamos resolver a equação da direção y para expressar v₂ em termos de v₁:
m1 cdot v1 cdot sin(80°) = m2 cdot v2 cdot sin(10°)
v2 = m1 cdot v1 cdot sin(80°)m2 cdot sin(10°)

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de v₂ na equação da conservação da quantidade de movimento na direção x:
m1 cdot v1o = m1 cdot v1 cdot cos(80°) + m2 cdot ( m1 cdot v1 cdot sin(80°)m2 cdot sin(10°) ) cdot cos(10°)
Simplificando:
m1 cdot v1o = m1 cdot v1 cdot cos(80°) + m1 cdot v1 cdot sin(80°) cdot cos(10°)sin(10°)

Passo 6

Fatorando m₁ e v₁:
v1o = v1 ( cos(80°) + sin(80°) cdot cos(10°)sin(10°) )
Agora, isolamos v₁:
v1 = v1ocos(80°) + sin(80°) cdot cos(10°)sin(10°)
Vamos calcular os valores trigonométricos:
cos(80°) approx 0,1736; sin(80°) approx 0,9848; cos(10°) approx 0,9848; sin(10°) approx 0,1736
Substituindo:
v1 = 50,1736 + 0,9848 cdot 0,98480,1736 approx 50,1736 + 0,96980,1736 approx 50,1736 + 5,5907 approx 55,7643 approx 0,867 , m/s

Passo 7

Agora que temos v₁, podemos encontrar v₂ usando a expressão que obtivemos anteriormente:
v2 = m1 cdot v1 cdot sin(80°)m2 cdot sin(10°) = 2 cdot 0,867 cdot 0,984810 cdot 0,1736 approx 1,7091,736 approx 0,986 , m/s

Resposta

As velocidades finais são aproximadamente:
v1 approx 0,867 , m/s
v2 approx 0,986 , m/s

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