O que é um sistema linear? Escreva-o em geral, com equações e na forma matricial, e indique a sua matriz aumentada.

Passo 1

Beleza, você quer saber o que é um sistema linear e como escrevê-lo de forma geral, tanto com equações quanto na forma matricial, além de identificar a matriz aumentada. Vamos usar conceitos de álgebra linear para isso e vamos precisar conhecer um pouco sobre equações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sistema linear. Basicamente, um sistema linear é um conjunto de equações lineares que envolvem as mesmas variáveis. Por exemplo, se temos duas variáveis, e , um sistema linear pode ter duas equações envolvendo essas variáveis.

Passo 3

Agora, vamos escrever um sistema linear de forma geral com equações. Um sistema com a11x1 + a12x2 + dots + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + dots + a2nxn = b2 vdots am1x1 + am2x2 + dots + amnxn = bm equações e incógnitas fica assim:
Aqui, cada representa os coeficientes das variáveis na equação .

Passo 4

Em seguida, vamos converter esse sistema de equações para a forma matricial. Isso significa organizar os coeficientes das variáveis em uma matriz e as variáveis em um vetor. A forma matricial fica assim:
A cdot x = b
Onde:
  • A = a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 & am2 & dots & amn é a matriz dos coeficientes:
x = x1 x2 vdots xn
  • b = b1 b2 vdots bm é o vetor das incógnitas:
  • é o vetor dos termos livres:

Passo 5

Por último, vamos identificar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta a matriz dos coeficientes [ A , | , b ] = a11 & a12 & dots & a1n & | & b1 a21 & a22 & dots & a2n & | & b2 vdots & vdots & ddots & vdots & | & vdots am1 & am2 & dots & amn & | & bm com o vetor dos termos livres . Ela é representada assim:
Essa matriz é útil para resolver o sistema utilizando métodos como a eliminação de Gauss.

Resposta

Um sistema linear é um conjunto de a11x1 + a12x2 + dots + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + dots + a2nxn = b2 vdots am1x1 + am2x2 + dots + amnxn = bm equações lineares com A cdot x = b incógnitas, representado de forma geral por:
[ A , | , b ] = a11 & a12 & dots & a1n & | & b1 a21 & a22 & dots & a2n & | & b2 vdots & vdots & ddots & vdots & | & vdots am1 & am2 & dots & amn & | & bm
Na forma matricial, o sistema é escrito como:
Onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos livres. A matriz aumentada do sistema é:

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[ccccc0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0]