Como analisamos o conjunto solução de um sistema linear a partir de sua matriz aumentada escalonada reduzida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando como a gente pode analisar o conjunto solução de um sistema linear usando a matriz aumentada que foi transformada em forma escalonada reduzida. Vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e sistemas lineares, além de saber como interpretar a matriz escalonada reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz aumentada. Quando temos um sistema de equações lineares, a matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes. Por exemplo, para o sistema:
x + 2y = 5 3x + 4y = 6
A matriz aumentada é:
1 & 2 & | & 5 3 & 4 & | & 6

Passo 3

Agora, a gente transforma essa matriz aumentada em forma escalonada reduzida por meio de operações elementares de linha. Isso significa que a matriz vai ficar com 1s na diagonal principal e zeros abaixo e acima deles. Por exemplo, a matriz acima, após as operações, fica:
1 & 0 & | & a 0 & 1 & | & b
Onde e são números específicos resultantes das operações.

Passo 4

Com a matriz na forma escalonada reduzida, a gente pode facilmente identificar as soluções do sistema. Cada linha corresponde a uma equação. No exemplo acima:
x = a y = b
Isso significa que o sistema tem uma solução única, que é e .

Passo 5

Mas e se a matriz escalonada reduzida tiver uma linha com todos os zeros ou alguma inconsciência? Se tiver uma linha como:
0 & 0 & | & c
Onde , isso indica que o sistema não tem solução, pois dá uma equação impossível, tipo .

Passo 6

Se a matriz escalonada reduzida tiver menos pivôs do que o número de variáveis, ou seja, tiver algumas variáveis livres, então o sistema tem infinitas soluções. Essas variáveis podem ser atribuídas a parâmetros livres, e as outras variáveis serão expressas em função desses parâmetros.

Passo 7

Então, resumindo, para analisar o conjunto solução de um sistema linear a partir da sua matriz aumentada escalonada reduzida, a gente:
  1. Transforma a matriz aumentada para a forma escalonada reduzida.
  2. Verifica se há inconsistências (linhas impossíveis).
  3. Identifica se há soluções únicas ou infinitas, observando os pivôs e variáveis livres.
  4. Expressa as soluções de acordo com essas observações.

Resposta

Analisando a matriz aumentada escalonada reduzida, podemos determinar que o sistema linear possui uma solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo da presença de pivôs e variáveis livres na matriz transformada.

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Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida.
[ccccc0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0]
Resolva o sistema linear A X=B usando o método de Gauss-Jordan, em que
A=[rrr 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ] e B=[l 1 1 1 ]