Como analisamos o conjunto solução de um sistema linear a partir de sua matriz aumentada escalonada reduzida?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando como a gente pode analisar o conjunto solução de um sistema linear usando a matriz aumentada que foi transformada em forma escalonada reduzida. Vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e sistemas lineares, além de saber como interpretar a matriz escalonada reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz aumentada. Quando temos um sistema de equações lineares, a matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes. Por exemplo, para o sistema:
A matriz aumentada é:
Passo 3
Agora, a gente transforma essa matriz aumentada em forma escalonada reduzida por meio de operações elementares de linha. Isso significa que a matriz vai ficar com 1s na diagonal principal e zeros abaixo e acima deles. Por exemplo, a matriz acima, após as operações, fica:
Onde e são números específicos resultantes das operações.
Passo 4
Com a matriz na forma escalonada reduzida, a gente pode facilmente identificar as soluções do sistema. Cada linha corresponde a uma equação. No exemplo acima:
Isso significa que o sistema tem uma solução única, que é e .
Passo 5
Mas e se a matriz escalonada reduzida tiver uma linha com todos os zeros ou alguma inconsciência? Se tiver uma linha como:
Onde , isso indica que o sistema não tem solução, pois dá uma equação impossível, tipo .
Passo 6
Se a matriz escalonada reduzida tiver menos pivôs do que o número de variáveis, ou seja, tiver algumas variáveis livres, então o sistema tem infinitas soluções. Essas variáveis podem ser atribuídas a parâmetros livres, e as outras variáveis serão expressas em função desses parâmetros.
Passo 7
Então, resumindo, para analisar o conjunto solução de um sistema linear a partir da sua matriz aumentada escalonada reduzida, a gente:
Transforma a matriz aumentada para a forma escalonada reduzida.
Verifica se há inconsistências (linhas impossíveis).
Identifica se há soluções únicas ou infinitas, observando os pivôs e variáveis livres.
Expressa as soluções de acordo com essas observações.
Resposta
Analisando a matriz aumentada escalonada reduzida, podemos determinar que o sistema linear possui uma solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo da presença de pivôs e variáveis livres na matriz transformada.