Em um sistema mola-massa
,
tem unia freqüência natural de fl. Se uma segunda mola é adicionada em serie a primeira, a freqüência natural baixa para
, Determinar
em função de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um sistema composto por uma mola com constante elástica
e uma massa
. Esse sistema tem uma frequência natural
. Quando adicionamos uma segunda mola
em série com a primeira, a frequência natural cai para metade, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar a relação de
em função de
. Para resolver isso, precisamos usar os conceitos de frequência natural em sistemas mola-massa e de combinação de molas em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da frequência natural
para um sistema mola-massa:
onde
é a constante elástica da mola e
é a massa.
Passo 3
No sistema inicial, com apenas a mola
, a frequência natural é:
Passo 4
Quando adicionamos uma segunda mola
em série com a primeira, a constante elástica equivalente
para molas em série é dada por:
Podemos reescrever essa equação para encontrar
:
Passo 5
Com a segunda mola em série, a nova frequência natural
do sistema passa a ser:
Segundo a questão, essa nova frequência é metade da original:
Passo 6
Vamos substituir
e
nas respectivas expressões:
Podemos eliminar
de ambos os lados:
Passo 7
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Agora, sabemos que:
Vamos resolver essa equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
):
Passo 9
Vamos isolar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A constante elástica
em função de
é:
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