Em um sistema mola-massa , tem unia freqüência natural de fl. Se uma segunda mola é adicionada em serie a primeira, a freqüência natural baixa para , Determinar em função de .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um sistema composto por uma mola com constante elástica e uma massa . Esse sistema tem uma frequência natural . Quando adicionamos uma segunda mola em série com a primeira, a frequência natural cai para metade, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar a relação de em função de . Para resolver isso, precisamos usar os conceitos de frequência natural em sistemas mola-massa e de combinação de molas em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da frequência natural para um sistema mola-massa:
onde é a constante elástica da mola e é a massa.

Passo 3

No sistema inicial, com apenas a mola , a frequência natural é:

Passo 4

Quando adicionamos uma segunda mola em série com a primeira, a constante elástica equivalente para molas em série é dada por:
Podemos reescrever essa equação para encontrar :

Passo 5

Com a segunda mola em série, a nova frequência natural do sistema passa a ser:
Segundo a questão, essa nova frequência é metade da original:

Passo 6

Vamos substituir e nas respectivas expressões:
Podemos eliminar de ambos os lados:

Passo 7

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 8

Agora, sabemos que:
Vamos resolver essa equação para :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 9

Vamos isolar :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A constante elástica em função de é:

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Resp.
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Resp.
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