Em um sistema mola-massa k1, m tem unia freqüência natural de fl. Se uma segunda mola é adicionada em serie a primeira, a freqüência natural baixa para 1 / 2 f, Determinar k2 em função de k1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um sistema composto por uma mola com constante elástica e uma massa . Esse sistema tem uma frequência natural . Quando adicionamos uma segunda mola em série com a primeira, a frequência natural cai para metade, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar a relação de em função de . Para resolver isso, precisamos usar os conceitos de frequência natural em sistemas mola-massa e de combinação de molas em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da frequência natural omega = raizkm para um sistema mola-massa:
onde é a constante elástica da mola e é a massa.

Passo 3

No sistema inicial, com apenas a mola omega = raizk1m , a frequência natural é:

Passo 4

Quando adicionamos uma segunda mola 1keq = 1k1 + 1k2 em série com a primeira, a constante elástica equivalente keq = k1 k2k1 + k2 para molas em série é dada por:
Podemos reescrever essa equação para encontrar :

Passo 5

Com a segunda mola em série, a nova frequência natural omega' = raizkeqm do sistema passa a ser:
omega' = 12 omega
Segundo a questão, essa nova frequência é metade da original:

Passo 6

Vamos substituir raizkeqm = 12 raizk1m e raizkeq = 12 raizk1 nas respectivas expressões:
Podemos eliminar de ambos os lados:

Passo 7

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
keq = (12)^2 k1 = 14 k1

Passo 8

Agora, sabemos que:
keq = k1 k2k1 + k2 = 14 k1
Vamos resolver essa equação para k1 k2k1 + k2 = 14 k1 :
k1 k2 = 14 k1 (k1 + k2)
Multiplicando ambos os lados por k2 = 14 (k1 + k2) :
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 9

Vamos isolar k2 = 14 k1 + 14 k2 :
k2 - 14 k2 = 14 k1
Subtraindo 34 k2 = 14 k1 de ambos os lados:

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por k2 = 13 k1 para isolar :

Resposta

A constante elástica k2 = 13 k1 em função de é:

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