Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,001 , uma amplitude de 10,0 cm e uma velocidade máxima de 1,20 m / s. Determine (a) a constante elástica, (b) a massa do blocos e © a frequêencia de oscilação.

Passo 1

Beleza! A gente tem um sistema oscilatório composto por um bloco e uma mola. A energia mecânica total desse sistema é 1,001 J, a amplitude das oscilações é de 10,0 cm (que vamos converter para metros) e a velocidade máxima do bloco é de 1,20 m/s. Vamos precisar usar conceitos de energia em sistemas oscilatórios, leis de Hooke e fórmulas de movimento harmônico simples para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a constante elástica da mola, que é o item (a). Sabemos que a energia mecânica total E = 12 k A^2 de um sistema oscilatório bloco-mola é dada pela fórmula:
k = 2EA^2
Aqui, E = 1,001 , J e A = 10,0 , cm = 0,10 , m é a constante elástica e k = 2 times 1,001(0,10)^2 = 2,0020,01 = 200,2 , N/m é a amplitude. Queremos isolar , então rearranjamos a fórmula:
Agora, vamos substituir os valores que temos:
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos determinar a massa do bloco, que é o item (b). Sabemos que a velocidade máxima vmax = A omega em um sistema oscilatório é dada por:
omega = raizkm
Onde vmax = A raizkm é a frequência angular e vmax = A raizkm Rightarrow vmaxA = raizkm Rightarrow (vmaxA)^2 = km Rightarrow m = k(vmaxA)^2 é a amplitude. Também sabemos que a frequência angular está relacionada com a constante elástica e a massa pela fórmula:
k = 200,2 , N/m, vmax = 1,20 , m/s, A = 0,10 , m
Podemos substituir m = 200,2(1,200,10)^2 = 200,2(12)^2 = 200,2144 approx 1,389 , kg na equação da velocidade máxima:
Queremos encontrar , então vamos isolar :
Substituindo os valores:
Calculando :

Passo 4

Por fim, vamos calcular a frequência de oscilação, que é o item ©. A frequência f = omega2pi está relacionada com a frequência angular omega = raizkm = raiz200,21,389 approx raiz144,0 = 12,0 , rad/s pela fórmula:
f = 12,02pi approx 12,06,2832 approx 1,91 , Hz
Já sabemos que:
Então, calculando :

Resposta

(a) A constante elástica é .
(b) A massa do bloco é aproximadamente .
© A frequência de oscilação é .

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