Suponha
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos mostrar que as derivadas parciais misturadas de
em relação a
e
são iguais, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais de funções de várias variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois verificar se a ordem das derivadas não altera o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia, onde a derivada de é
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia novamente, onde a derivada de
é , temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
Concluímos que: