Suponha Bz=B0 sen[k(x-c t)]. Mostre que partialpartial x partial Bzpartial t=partialpartial t partial Bzpartial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos mostrar que as derivadas parciais misturadas de partialpartial x partial Bzpartial t = partialpartial t partial Bzpartial x em relação a e são iguais, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais de funções de várias variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois verificar se a ordem das derivadas não altera o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial Bzpartial t = partialpartial t ( B0 sen[k(x - c t)] ) em relação a partial Bzpartial t = B0 cos[k(x - c t)] cdot (-k c) = -B0 k c cos[k(x - c t)] :
Usando a regra da cadeia, onde a derivada de é , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a partialpartial x ( partial Bzpartial t ) = partialpartial x ( -B0 k c cos[k(x - c t)] ) :
partialpartial x ( partial Bzpartial t ) = -B0 k c ( -sen[k(x - c t)] cdot k ) = B0 k^2 c sen[k(x - c t)]
Aplicando a regra da cadeia novamente, onde a derivada de é , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Bzpartial x = partialpartial x ( B0 sen[k(x - c t)] ) em relação a partial Bzpartial x = B0 cos[k(x - c t)] cdot k = B0 k cos[k(x - c t)] :
Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a partialpartial t ( partial Bzpartial x ) = partialpartial t ( B0 k cos[k(x - c t)] ) :
partialpartial t ( partial Bzpartial x ) = B0 k ( -sen[k(x - c t)] cdot (-k c) ) = B0 k^2 c sen[k(x - c t)]
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

Concluímos que:

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