Para um sistema oscilatório em uma mola, a posição de um corpo em movimento circular é dada por
, onde
é a amplitude e
a frequência angular.
- (b) Determine a aceleração
do corpo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema oscilatório numa mola onde a posição de um corpo em movimento circular é dada por
. Aqui,
é a amplitude (o quão longe o corpo vai se mover) e
é a frequência angular (quanto rápido ele está girando). Nosso objetivo é encontrar a aceleração
desse corpo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para passar da posição à aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Mas antes de chegarmos lá, precisamos encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição. Vamos começar derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa derivada componente por componente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é .
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora que temos a velocidade, podemos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação a
:
Passo 5
Vamos derivar cada componente da velocidade:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
continua sendo .
Portanto, a aceleração é:
Resposta
A aceleração do corpo é dada por: