Para um sistema oscilatório em uma mola, a posição de um corpo em movimento circular é dada por r(t)=(A cos (omega t), A sin (omega t), 0), onde A é a amplitude e omega a frequência angular.
  • (b) Determine a aceleração a(t) do corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema oscilatório numa mola onde a posição de um corpo em movimento circular é dada por r(t) = (A cos (omega t), A sin (omega t), 0). Aqui, A é a amplitude (o quão longe o corpo vai se mover) e omega é a frequência angular (quanto rápido ele está girando). Nosso objetivo é encontrar a aceleração a(t) desse corpo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para passar da posição à aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Mas antes de chegarmos lá, precisamos encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição. Vamos começar derivando r(t) em relação a t:
v(t) = dr(t)dt = ddt ( A cos (omega t), A sin (omega t), 0 )

Passo 3

Agora, vamos calcular essa derivada componente por componente:
  • A derivada de A cos (omega t) em relação a t é -A omega sin (omega t).
  • A derivada de A sin (omega t) em relação a t é A omega cos (omega t).
  • A derivada de 0 é 0.
Então, a velocidade fica:
v(t) = ( -A omega sin (omega t), A omega cos (omega t), 0 )

Passo 4

Agora que temos a velocidade, podemos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação a t:
a(t) = dv(t)dt = ddt ( -A omega sin (omega t), A omega cos (omega t), 0 )

Passo 5

Vamos derivar cada componente da velocidade:
  • A derivada de -A omega sin (omega t) em relação a t é -A omega^2 cos (omega t).
  • A derivada de A omega cos (omega t) em relação a t é -A omega^2 sin (omega t).
  • A derivada de 0 continua sendo 0.
Portanto, a aceleração é:
a(t) = ( -A omega^2 cos (omega t), -A omega^2 sin (omega t), 0 )

Resposta

A aceleração do corpo é dada por:
a(t) = ( -A omega^2 cos (omega t), -A omega^2 sin (omega t), 0 )

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