Um bloco de massa 4 kg está apoiado sobre uma mesa e sujeito a uma mola horizontal que obedece a lei de Hooke
, onde
se mede a partir do comprimento de equilíbrio da mola e a constante de força
vale
. A mola está comprimida até
. (a) Determinar o trabalho efetuado pela mola quando o bloco se desloca desde
até a sua posição de equilíbrio
, admitindo que não haja atrito entre o bloco e a mesa. (b) Determinar a velocidade escalar do bloco em
, admitindo que não haja atrito entre o bloco e a mesa. © Determinar a velocidade do bloco quando a mola está na posição de equilíbrio, mas agora admitindo que o coeficiente de atrito cinético entre a mesa e o bloco é 0,20.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve um bloco de 4 kg apoiado em uma mesa com uma mola presa a ele. A mola segue a lei de Hooke, que nos diz como a força da mola depende da sua deformação. Precisamos calcular:
a) O trabalho feito pela mola quando o bloco se move da posição comprimida até o equilíbrio, sem atrito.
b) A velocidade do bloco na posição de equilíbrio, ainda sem atrito.
c) A velocidade do bloco na posição de equilíbrio, agora considerando atrito.
b) A velocidade do bloco na posição de equilíbrio, ainda sem atrito.
c) A velocidade do bloco na posição de equilíbrio, agora considerando atrito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, trabalho, energia e movimento.
Passo 2
Parte a: Calculando o trabalho feito pela mola
Primeiro, vamos lembrar a lei de Hooke, que diz que a força da mola é $ F(x) = -k x $, onde:
- $ k = 400 , N/m $ é a constante da mola,
- $ x $ é a deformação da mola a partir do comprimento de equilíbrio.
O trabalho feito por uma força variável, como a força da mola, é calculado pela integral dessa força em relação ao deslocamento. Então, o trabalho $ W $ é:
Aqui, $ x_1 = -5 , cm = -0,05 , m $ e $ x_2 = 0 $.
Resolvendo a integral:
Então, o trabalho feito pela mola é 0,5 Joules.
Passo 3
Parte b: Determinando a velocidade do bloco na posição de equilíbrio sem atrito
Agora, vamos usar o princípio da conservação de energia. Como não há atrito, toda a energia potencial armazenada na mola será convertida em energia cinética do bloco.
A energia potencial da mola é dada por:
Calculando para $ x = -0,05 , m $:
Essa energia se transforma em energia cinética:
Igualando $ U = E_k $:
Portanto, a velocidade do bloco na posição de equilíbrio é 0,5 m/s.
Passo 4
Parte c: Determinando a velocidade do bloco na posição de equilíbrio com atrito
Agora, precisamos considerar o atrito. O atrito faz um trabalho negativo que reduz a energia cinética do bloco.
Primeiro, calculamos a força de atrito:
Onde:
- $ \mu = 0,20 $ é o coeficiente de atrito cinético,
- $ N = m g $ é a força normal. Com $ m = 4 , kg $ e $ g = 9,8 , m/s^2 $, temos $ N = 4 \times 9,8 = 39,2 , N $.
Então:
O trabalho do atrito $ W_{atrito} $ é:
Aqui, $ d = 0,05 , m $ e $ \theta = 180^\circ $ (porque a força de atrito é oposta ao deslocamento):
Agora, aplicamos a conservação de energia considerando o trabalho do atrito:
Ou seja:
Portanto, a velocidade do bloco na posição de equilíbrio, considerando atrito, é aproximadamente 0,232 m/s.
Resposta
a) O trabalho efetuado pela mola é de 0,5 Joules.
b) A velocidade do bloco em $ x_{2} = 0 $ sem atrito é de 0,5 m/s.
c) Considerando atrito, a velocidade do bloco em $ x_{2} = 0 $ é aproximadamente 0,232 m/s.