Para um sistema particular é determinado que se o volume é mantido constante no valor
e a pressão é alterada de
para um valor arbitrário
, o calor transferido para o sistema é
Além disso é sabido que as adiabáticas do sistema são da forma
Determine a energia
para um ponto arbitrário no plano
, expressando
em termos de
e
(bem como
e
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema termodinâmico onde o volume é mantido constante em
e a pressão varia de
para um valor qualquer
. Quando isso acontece, o calor transferido para o sistema é dado por:
Além disso, sabemos que as adiabáticas do sistema seguem a relação:
Nosso objetivo aqui é encontrar a energia interna
para qualquer ponto no plano
, expressando-a em termos de
e
, além de
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica como a primeira lei da termodinâmica e as propriedades dos processos adiabáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica, que nos diz que a variação da energia interna (
) de um sistema é igual ao calor (
) fornecido ao sistema menos o trabalho (
) realizado pelo sistema:
No nosso caso, como o volume é constante (
), o trabalho realizado pelo sistema é zero (
), já que trabalho em um processo de expansão ou compressão é dado por
. Assim, a variação da energia interna simplifica para:
Passo 3
Agora, sabemos que o calor transferido durante essa variação de pressão a volume constante é:
Portanto, a variação da energia interna nesse processo é:
Se considerarmos
como a energia interna no estado inicial (
), então a energia interna no estado final (
) será:
Passo 4
Agora, precisamos generalizar isso para qualquer
e
. Para isso, vamos usar a relação das adiabáticas fornecida:
Isso significa que para qualquer ponto
no processo adiabático, a pressão e o volume estão relacionados por:
onde
é uma constante que podemos determinar usando as condições iniciais
e
:
Portanto, a relação fica:
Passo 5
Agora, queremos expressar
de forma geral. Sabemos que a energia interna depende apenas do estado do sistema, e podemos escrever:
No entanto, precisamos relacionar
e
usando a relação adiabática para expressar
em termos de
. Substituindo
da relação adiabática:
Fatorando
:
Resposta
A energia interna
para um ponto arbitrário no plano
é dada por: