Para um sistema particular é determinado que se o volume é mantido constante no valor V0 e a pressão é alterada de P0 para um valor arbitrário P^prime, o calor transferido para o sistema é
Q^prime=A(P^prime-P0) (com A>0)
Além disso é sabido que as adiabáticas do sistema são da forma
P V^gamma= constante ( gamma uma constante positiva)
Determine a energia U(P, V) para um ponto arbitrário no plano P-V, expressando U(P, V) em termos de P0, V0, A, U0 equiv U(P0, V0) e gamma (bem como P e V ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema termodinâmico onde o volume é mantido constante em Q' = A(P' - P0) e a pressão varia de P V^gamma = constante para um valor qualquer . Quando isso acontece, o calor transferido para o sistema é dado por:
Além disso, sabemos que as adiabáticas do sistema seguem a relação:
Nosso objetivo aqui é encontrar a energia interna para qualquer ponto no plano , expressando-a em termos de e , além de e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica como a primeira lei da termodinâmica e as propriedades dos processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica, que nos diz que a variação da energia interna ( De) de um sistema é igual ao calor ( De) fornecido ao sistema menos o trabalho ( ) realizado pelo sistema:
No nosso caso, como o volume é constante ( ), o trabalho realizado pelo sistema é zero ( ), já que trabalho em um processo de expansão ou compressão é dado por . Assim, a variação da energia interna simplifica para:

Passo 3

Agora, sabemos que o calor transferido durante essa variação de pressão a volume constante é:
Q' = A(P' - P0)
Portanto, a variação da energia interna nesse processo é:
De
Se considerarmos U(P', V0) = U0 + A(P' - P0) como a energia interna no estado inicial ( ), então a energia interna no estado final ( ) será:

Passo 4

Agora, precisamos generalizar isso para qualquer P V^gamma = constante e P = C V^-gamma . Para isso, vamos usar a relação das adiabáticas fornecida:
P0 = C V0^-gamma implies C = P0 V0^gamma
Isso significa que para qualquer ponto P = P0 ( V0V )^gamma no processo adiabático, a pressão e o volume estão relacionados por:
onde é uma constante que podemos determinar usando as condições iniciais e :
Portanto, a relação fica:

Passo 5

Agora, queremos expressar U(P, V) = U0 + A(P - P0) de forma geral. Sabemos que a energia interna depende apenas do estado do sistema, e podemos escrever:
U(P, V) = U0 + A(P0 ( V0V )^gamma - P0)
No entanto, precisamos relacionar U(P, V) = U0 + A P0 ( ( V0V )^gamma - 1 ) e usando a relação adiabática para expressar em termos de . Substituindo da relação adiabática:
Fatorando :

Resposta

A energia interna U(P, V) = U0 + A P0 ( ( V0V )^gamma - 1 ) para um ponto arbitrário no plano é dada por:

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