Uma pequena palheta é instalada dentro do sistema e é acionada por um motor externo (por meio de acoplamentos magnéticos através da parede do cilindro). O motor exerce um torque
, conduzindo a palheta em uma velocidade angular
, e a pressão do gás (a volume constante) é observada aumentar em uma taxa dada por
Mostre que a diferença de energia entre quaisquer dois estados de volumes iguais pode ser determinado por este processo. Em particular, calcule
e
. Explique porque este processo pode proceder apenas em uma direção (verticalmente para cima em vez de para baixo no gráfico
).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma palheta que é girada por um motor, que exerce um torque
, fazendo a palheta girar com uma velocidade angular
. Isso aumenta a pressão do gás dentro de um cilindro de volume constante. A equação que descreve essa mudança de pressão com o tempo é:
Nosso objetivo é mostrar que a diferença de energia entre dois estados com o mesmo volume pode ser determinada por esse processo. Além disso, precisamos calcular
e
e explicar por que o processo só pode ocorrer em uma direção no gráfico
(pressionamento vs volume).
Passo 2
Vamos começar entendendo a relação entre energia interna (
), pressão (
) e volume (
). Em termodinâmica, a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura e do volume. No nosso caso, o volume é constante, então qualquer mudança na energia interna está relacionada à mudança na pressão.
Como temos um processo a volume constante, o trabalho realizado (
) pelo sistema é zero, pois:
Então, a mudança na energia interna (
) é igual ao calor fornecido ao sistema (
):
Passo 3
Agora, vamos relacionar o torque
e a velocidade angular
com a energia fornecida ao sistema. O torque aplicado gera uma potência (
), que é a taxa de realização de trabalho:
Essa potência está aumentando a energia interna do gás. Como a pressão está aumentando a uma taxa
, podemos relacionar a potência com a mudança na pressão.
Passo 4
Dada a equação fornecida:
podemos rearranjá-la para expressar a potência em termos da taxa de mudança de pressão:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo, obtemos a mudança na pressão multiplicada por um fator.
Passo 5
Para encontrar a diferença de energia entre dois estados, integraremos a potência ao longo do tempo. Sabendo que
e
é a energia fornecida, temos:
Isso mostra que a diferença de energia interna entre dois estados de mesmo volume depende apenas da mudança na pressão, confirmando que a energia interna é uma função de estado nesse caso.
Passo 6
Agora, vamos calcular
e
. Supondo que nos movimentos de
para
e
para
, as mudanças de pressão são
e
, respectivamente.
Usando a fórmula que encontramos:
Passo 7
Por fim, vamos explicar por que o processo só pode ocorrer em uma direção no gráfico
. No gráfico
, um processo que aumenta a pressão a volume constante se move verticalmente para cima. Se tentarmos reverter o processo (diminuir a pressão com a mesma energia fornecida), violaríamos a relação
, já que
e
são positivos. Portanto, a pressão só pode aumentar com o tempo, fazendo o processo ocorrer apenas na direção vertical para cima.
Resposta
A diferença de energia interna entre dois estados de mesmo volume é dada por
. Especificamente,
Além disso, o processo só pode ocorrer na direção vertical para cima no gráfico
porque a pressão aumenta com o tempo devido ao torque e à velocidade angular aplicados, impossibilitando a reversão do processo.