Uma pequena palheta é instalada dentro do sistema e é acionada por um motor externo (por meio de acoplamentos magnéticos através da parede do cilindro). O motor exerce um torque tau, conduzindo a palheta em uma velocidade angular omega, e a pressão do gás (a volume constante) é observada aumentar em uma taxa dada por
d Pd t=2 omega3 V tau
Mostre que a diferença de energia entre quaisquer dois estados de volumes iguais pode ser determinado por este processo. Em particular, calcule UC-UA e UD-UB. Explique porque este processo pode proceder apenas em uma direção (verticalmente para cima em vez de para baixo no gráfico P-V ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma palheta que é girada por um motor, que exerce um torque tau, fazendo a palheta girar com uma velocidade angular omega. Isso aumenta a pressão do gás dentro de um cilindro de volume constante. A equação que descreve essa mudança de pressão com o tempo é:
d Pd t = 2 omega3 V tau
Nosso objetivo é mostrar que a diferença de energia entre dois estados com o mesmo volume pode ser determinada por esse processo. Além disso, precisamos calcular UC - UA e UD - UB e explicar por que o processo só pode ocorrer em uma direção no gráfico P-V (pressionamento vs volume).

Passo 2

Vamos começar entendendo a relação entre energia interna ( U), pressão ( P) e volume ( V). Em termodinâmica, a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura e do volume. No nosso caso, o volume é constante, então qualquer mudança na energia interna está relacionada à mudança na pressão.
Como temos um processo a volume constante, o trabalho realizado ( W) pelo sistema é zero, pois:
W = P De
Então, a mudança na energia interna ( De) é igual ao calor fornecido ao sistema ( Q):
De

Passo 3

Agora, vamos relacionar o torque tau e a velocidade angular omega com a energia fornecida ao sistema. O torque aplicado gera uma potência ( Ppot), que é a taxa de realização de trabalho:
Ppot = tau omega
Essa potência está aumentando a energia interna do gás. Como a pressão está aumentando a uma taxa d Pd t, podemos relacionar a potência com a mudança na pressão.

Passo 4

Dada a equação fornecida:
d Pd t = 2 omega3 V tau,
podemos rearranjá-la para expressar a potência em termos da taxa de mudança de pressão:
tau omega = 3 V2 d Pd t
Integrando ambos os lados em relação ao tempo, obtemos a mudança na pressão multiplicada por um fator.

Passo 5

Para encontrar a diferença de energia entre dois estados, integraremos a potência ao longo do tempo. Sabendo que De e Q é a energia fornecida, temos:
De
Isso mostra que a diferença de energia interna entre dois estados de mesmo volume depende apenas da mudança na pressão, confirmando que a energia interna é uma função de estado nesse caso.

Passo 6

Agora, vamos calcular UC - UA e UD - UB. Supondo que nos movimentos de A para C e B para D, as mudanças de pressão são De e De, respectivamente.
Usando a fórmula que encontramos:
UC - UA = 3 V2 (PC - PA),
UD - UB = 3 V2 (PD - PB)

Passo 7

Por fim, vamos explicar por que o processo só pode ocorrer em uma direção no gráfico P-V. No gráfico P-V, um processo que aumenta a pressão a volume constante se move verticalmente para cima. Se tentarmos reverter o processo (diminuir a pressão com a mesma energia fornecida), violaríamos a relação d Pd t = 2 omega3 V tau, já que tau e omega são positivos. Portanto, a pressão só pode aumentar com o tempo, fazendo o processo ocorrer apenas na direção vertical para cima.

Resposta

A diferença de energia interna entre dois estados de mesmo volume é dada por De. Especificamente,
UC - UA = 3 V2 (PC - PA),
UD - UB = 3 V2 (PD - PB)
Além disso, o processo só pode ocorrer na direção vertical para cima no gráfico P-V porque a pressão aumenta com o tempo devido ao torque e à velocidade angular aplicados, impossibilitando a reversão do processo.

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