Em um sistema de transmissão de dados, existe uma probabilidade igual a 0,05 de um lote de dados ser transmitido erroneamente. Foram transmitidos 20 lotes de dados para a realização de um teste de análise da confiabilidade do sistema.
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para esse caso? Por quê?
b) Calcule a probabilidade de haver erro na transmissão.
c) Calcule a probabilidade de que haja erro na transmissão em exatamente 2 dos 20 lotes de dados.
d) Qual é o número esperado de erros no teste realizado?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema que transmite dados, e sabemos que a probabilidade de erro na transmissão de um lote é de 5% (ou seja, 0,05). Para testar a confiabilidade desse sistema, foram enviados 20 lotes de dados. A matéria que vamos precisar aqui é Probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, já que estamos lidando com um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso ou erro. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

a) Qual é o modelo teórico mais adequado para esse caso? Por quê?
Aqui, estamos lidando com um número fixo de tentativas (20 lotes), cada uma independente e com a mesma probabilidade de erro (0,05). Esse cenário se encaixa perfeitamente na distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando queremos saber a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com probabilidades constantes e independentes em cada tentativa. No nosso caso, o “sucesso” seria um erro na transmissão.

Passo 3

b) Calcule a probabilidade de haver erro na transmissão.
Vamos interpretar essa parte como a probabilidade de ocorrer pelo menos um erro na transmissão dos 20 lotes. Para calcular isso, é mais fácil primeiro calcular a probabilidade de não haver nenhum erro e depois subtrair esse valor de 1.
A probabilidade de não haver erro em um único lote é de 0,95 (ou 95%). Como os lotes são transmitidos de forma independente, a probabilidade de não haver erro em todos os 20 lotes é:
P(nenhum erro) = 0,95^20
Então, a probabilidade de ter pelo menos um erro é:
P(pelo menos um erro) = 1 - 0,95^20
Calculando isso:
P(pelo menos um erro) approx 1 - 0,3585 = 0,6415
Então, há aproximadamente 64,15% de chance de ocorrer pelo menos um erro na transmissão dos 20 lotes.

Passo 4

c) Calcule a probabilidade de que haja erro na transmissão em exatamente 2 dos 20 lotes de dados.
Aqui, queremos a probabilidade de exatamente 2 erros em 20 tentativas. Usamos a fórmula da distribuição binomial:
P(k) = C(n,k) cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde:
  • C(20,2) = 20!2!(20-2)! = 20 times 192 times 1 = 190 (número de tentativas)
  • P(2) = 190 cdot (0,05)^2 cdot (0,95)^18 (número de erros)
  • (0,05)^2 = 0,0025 (probabilidade de erro em cada tentativa)
  • (0,95)^18 approx 0,3774 é a combinação de n elementos tomados k a k.
Calculando:
P(2) = 190 cdot 0,0025 cdot 0,3774 approx 190 cdot 0,0009435 approx 0,1793
Então:
Calculando os termos:
Multiplicando tudo:
Então, a probabilidade de exatamente 2 erros em 20 lotes é de aproximadamente 17,93%.

Passo 5

d) Qual é o número esperado de erros no teste realizado?
O número esperado (ou valor esperado) em uma distribuição binomial é dado por:
E = n cdot p
Onde:
  • E = 20 cdot 0,05 = 1
Calculando:
Então, o número esperado de erros no teste é 1 erro.

Resposta

Resumindo:
a) O modelo teórico mais adequado é a distribuição binomial, pois temos um número fixo de tentativas independentes com a mesma probabilidade de erro.
b) A probabilidade de haver pelo menos um erro na transmissão dos 20 lotes é de aproximadamente 64,15%.
c) A probabilidade de ocorrer exatamente 2 erros nos 20 lotes é de cerca de 17,93%.
d) O número esperado de erros no teste realizado é 1 erro.

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