Em um sistema de transmissão de dados, existe uma probabilidade igual a 0,05 de um lote de dados ser transmitido erroneamente. Foram transmitidos 20 lotes de dados para a realização de um teste de análise da confiabilidade do sistema.
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para esse caso? Por quê?
b) Calcule a probabilidade de haver erro na transmissão.
c) Calcule a probabilidade de que haja erro na transmissão em exatamente 2 dos 20 lotes de dados.
d) Qual é o número esperado de erros no teste realizado?
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para esse caso? Por quê?
b) Calcule a probabilidade de haver erro na transmissão.
c) Calcule a probabilidade de que haja erro na transmissão em exatamente 2 dos 20 lotes de dados.
d) Qual é o número esperado de erros no teste realizado?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema que transmite dados, e sabemos que a probabilidade de erro na transmissão de um lote é de 5% (ou seja, 0,05). Para testar a confiabilidade desse sistema, foram enviados 20 lotes de dados. A matéria que vamos precisar aqui é Probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, já que estamos lidando com um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso ou erro. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para esse caso? Por quê?
Aqui, estamos lidando com um número fixo de tentativas (20 lotes), cada uma independente e com a mesma probabilidade de erro (0,05). Esse cenário se encaixa perfeitamente na distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando queremos saber a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com probabilidades constantes e independentes em cada tentativa. No nosso caso, o “sucesso” seria um erro na transmissão.
Passo 3
b) Calcule a probabilidade de haver erro na transmissão.
Vamos interpretar essa parte como a probabilidade de ocorrer pelo menos um erro na transmissão dos 20 lotes. Para calcular isso, é mais fácil primeiro calcular a probabilidade de não haver nenhum erro e depois subtrair esse valor de 1.
A probabilidade de não haver erro em um único lote é de 0,95 (ou 95%). Como os lotes são transmitidos de forma independente, a probabilidade de não haver erro em todos os 20 lotes é:
Então, a probabilidade de ter pelo menos um erro é:
Calculando isso:
Então, há aproximadamente 64,15% de chance de ocorrer pelo menos um erro na transmissão dos 20 lotes.
Passo 4
c) Calcule a probabilidade de que haja erro na transmissão em exatamente 2 dos 20 lotes de dados.
Aqui, queremos a probabilidade de exatamente 2 erros em 20 tentativas. Usamos a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
-
(número de tentativas) -
(número de erros) -
(probabilidade de erro em cada tentativa) -
é a combinação de n elementos tomados k a k.
Calculando:
Então:
Calculando os termos:
Multiplicando tudo:
Então, a probabilidade de exatamente 2 erros em 20 lotes é de aproximadamente 17,93%.
Passo 5
d) Qual é o número esperado de erros no teste realizado?
O número esperado (ou valor esperado) em uma distribuição binomial é dado por:
Onde:
Calculando:
Então, o número esperado de erros no teste é 1 erro.
Resposta
Resumindo:
a) O modelo teórico mais adequado é a distribuição binomial, pois temos um número fixo de tentativas independentes com a mesma probabilidade de erro.
b) A probabilidade de haver pelo menos um erro na transmissão dos 20 lotes é de aproximadamente 64,15%.
c) A probabilidade de ocorrer exatamente 2 erros nos 20 lotes é de cerca de 17,93%.
d) O número esperado de erros no teste realizado é 1 erro.
a) O modelo teórico mais adequado é a distribuição binomial, pois temos um número fixo de tentativas independentes com a mesma probabilidade de erro.
b) A probabilidade de haver pelo menos um erro na transmissão dos 20 lotes é de aproximadamente 64,15%.
c) A probabilidade de ocorrer exatamente 2 erros nos 20 lotes é de cerca de 17,93%.
d) O número esperado de erros no teste realizado é 1 erro.
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