Um sistema vibratório é formado de um peso de 10 lb e uma mola com rigidez de 20 lb / pol, e um amortecedor com um coeficiente de amortecimento de 0,071 lb / pol por segundo. Calcular: (a) o fator de amortecimento.

Passo 1

Então, temos um sistema vibratório composto por um peso de 10 lb, uma mola com rigidez de e um amortecedor com coeficiente de amortecimento de . A gente precisa calcular o fator de amortecimento desse sistema. Vamos utilizar conceitos de dinâmica de sistemas vibratórios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o fator de amortecimento. O fator de amortecimento, ou coeficiente de amortecimento, nos diz quão rápido as oscilações do sistema diminuem ao longo do tempo. Ele é crucial para saber se o sistema oscilará muito, pouco ou se voltará rapidamente ao repouso.

Passo 3

Para calcular o fator de amortecimento, usamos a fórmula:
zeta = c2 raizk m
onde:
  • é o fator de amortecimento,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a rigidez da mola,
  • é a massa do sistema.

Passo 4

Precisamos identificar todos os valores na fórmula. Já temos e . Mas precisamos calcular a massa .

Passo 5

Para encontrar a massa W = m cdot g , usamos a relação entre peso e massa na unidade imperial:
m = Wg
onde:
  • é o peso,
  • é a aceleração devida à gravidade ( ),
  • é a massa em slugs.
Rearranjando a fórmula para encontrar :

Passo 6

Precisamos converter g = 32,174 , ft/s^2 times 12 , pol/ft = 386,088 , pol/s^2 para a mesma unidade de comprimento usada na rigidez da mola, que está em polegadas. Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, calculamos a massa m = 10 , lb386,088 , pol/s^2 approx 0,0259 , slugs :

Passo 8

Com os valores de zeta = 0,0712 raiz20 times 0,0259 , e conhecidos, vamos substituir na fórmula do fator de amortecimento:

Passo 9

Primeiro, calculamos o denominador:
raiz20 times 0,0259 = raiz0,518 approx 0,719
Então:
zeta = 0,0712 times 0,719 = 0,0711,438 approx 0,049

Resposta

O fator de amortecimento do sistema é aproximadamente .

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