Sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso.
I. Toda função injetora é bijetora.
II. Quando elementos diferentes geram imagens diferentes temos uma função sobrejetora. II
I. Toda função bijetora admite inversa.
IV. Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente avaliar quatro afirmações sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Pra isso, vamos precisar entender o que cada tipo de função significa e aplicar esses conceitos para ver se as afirmações são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Afirmação I: "Toda função injetora é bijetora."
Vamos lembrar:
  • Função injetora: Não repete imagens, ou seja, elementos diferentes no domínio têm imagens diferentes.
  • Função sobrejetora: Toda imagem no contradomínio é atingida pela função.
  • Função bijetora: É tanto injetora quanto sobrejetora.
Então, uma função ser injetora só garante que não há repetições nas imagens, mas não necessariamente que todas as imagens do contradomínio estão cobertas. Portanto, nem toda função injetora é bijetora.

Passo 3

Afirmação II: "Quando elementos diferentes geram imagens diferentes temos uma função sobrejetora."
Aqui, “elementos diferentes geram imagens diferentes” descreve uma função injetora, não sobrejetora. Ser sobrejetora é sobre cobrir todo o contradomínio com as imagens, independente de repetições. Logo, essa afirmação está errada.

Passo 4

Afirmação III: "Toda função bijetora admite inversa."
Uma função bijetora, por ser injetora e sobrejetora, tem uma correspondência perfeita entre domínio e contradomínio. Isso significa que podemos “desfazer” a função com uma inversa. Então, sim, toda função bijetora tem uma inversa.

Passo 5

Afirmação IV: "Quando a imagem é igual ao contradomínio temos uma função sobrejetora."
Isso é quase a definição de função sobrejetora! Se a imagem da função cobre todo o contradomínio, então a função é sobrejetora. Portanto, essa afirmação está correta.

Resposta

I. Falso
II. Falso
III. Verdadeiro
IV. Verdadeiro

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