SOBRE O TRABALHO - Diferentemente do gás ideal, a energia interna do gás de van der Waals também depende do volume e pode ser escrita como
, em que
e
são constantes. b) Calcule as capacidades caloríficas
e
para o gás de van der Waals. (explicite seus cálculos)
Passo 1
Vamos lá! Você me enviou uma questão sobre o gás de van der Waals, onde a energia interna é dada por
. O que precisamos encontrar são as capacidades caloríficas
e
desse gás. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente as definições de capacidade calorífica a volume constante e a pressão constante, além de como a energia interna está relacionada a essas capacidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a capacidade calorífica a volume constante,
. Por definição,
é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em uma unidade, mantendo o volume constante. Matematicamente, isso é expressado como:
Passo 3
Agora, vamos derivar a expressão da energia interna
em relação à temperatura
, mantendo o volume
constante:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é zero, já que
é constante.
Passo 4
Então, temos que:
Isso significa que a capacidade calorífica a volume constante do gás de van der Waals é constante e igual a
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a capacidade calorífica a pressão constante,
. A relação entre
e
para um gás depende da equação de estado do gás. Para um gás real como o de van der Waals, a relação é um pouco mais complexa que para um gás ideal.
A fórmula geral que relaciona
e
é:
Passo 6
Primeiro, precisamos da equação de estado do gás de van der Waals, que é:
Onde
e
são constantes específicas do gás, e
é a constante dos gases.
Passo 7
Precisamos encontrar
e
. Vamos começar derivando a equação de estado em relação a
mantendo
constante para encontrar
.
Derivando ambos os lados da equação de estado:
Então:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, vamos rearranjar a equação de estado para isolar
em função de
e
, e depois derivar em relação a
mantendo
constante. No entanto, isso pode ser complexo, então vamos usar a relação de reciprocidade termodinâmica:
Passo 9
Precisamos agora encontrar
. Derivando a equação de estado com respeito a
mantendo
constante:
Expandindo e derivando:
Portanto:
Passo 10
Substituindo
e
na expressão para
:
Passo 11
Agora, substituímos
,
e
na expressão para
:
Resposta
As capacidades caloríficas para o gás de van der Waals são:
e