SOBRE O TRABALHO - Diferentemente do gás ideal, a energia interna do gás de van der Waals também depende do volume e pode ser escrita como U(T, V)=beta T+alphaV, em que alpha e beta são constantes. b) Calcule as capacidades caloríficas CV e CP para o gás de van der Waals. (explicite seus cálculos)

Passo 1

Vamos lá! Você me enviou uma questão sobre o gás de van der Waals, onde a energia interna é dada por . O que precisamos encontrar são as capacidades caloríficas e desse gás. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente as definições de capacidade calorífica a volume constante e a pressão constante, além de como a energia interna está relacionada a essas capacidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a capacidade calorífica a volume constante, CV = ( partial Upartial T )V . Por definição, é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em uma unidade, mantendo o volume constante. Matematicamente, isso é expressado como:

Passo 3

Agora, vamos derivar a expressão da energia interna partial Upartial T = partialpartial T ( beta T + alphaV ) = beta em relação à temperatura , mantendo o volume constante:
Isso porque a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é zero, já que é constante.

Passo 4

Então, temos que:
CV = beta
Isso significa que a capacidade calorífica a volume constante do gás de van der Waals é constante e igual a .

Passo 5

Agora, vamos calcular a capacidade calorífica a pressão constante, CP = CV + T ( partial Ppartial T )V ( partial Vpartial T )P . A relação entre e para um gás depende da equação de estado do gás. Para um gás real como o de van der Waals, a relação é um pouco mais complexa que para um gás ideal.
A fórmula geral que relaciona e é:

Passo 6

Primeiro, precisamos da equação de estado do gás de van der Waals, que é:
( P + aV^2 ) (V - b) = RT
Onde e são constantes específicas do gás, e é a constante dos gases.

Passo 7

Precisamos encontrar ( partial Ppartial T )V (V - b) = R e ( partial Ppartial T )V = RV - b . Vamos começar derivando a equação de estado em relação a mantendo constante para encontrar .
Derivando ambos os lados da equação de estado:
Então:

Passo 8

Agora, precisamos encontrar ( partial Vpartial T )P = -( partial Ppartial T )V( partial Ppartial V )T . Para isso, vamos rearranjar a equação de estado para isolar em função de e , e depois derivar em relação a mantendo constante. No entanto, isso pode ser complexo, então vamos usar a relação de reciprocidade termodinâmica:

Passo 9

Precisamos agora encontrar partialpartial V ( P + aV^2 ) (V - b) = partialpartial V (RT) . Derivando a equação de estado com respeito a ( partial Ppartial V )T (V - b) + ( P + aV^2 ) = 0 mantendo ( partial Ppartial V )T = -P + aV^2V - b constante:
Expandindo e derivando:
Portanto:

Passo 10

Substituindo ( partial Vpartial T )P = -RV - b-P + aV^2V - b = RP + aV^2 e na expressão para :

Passo 11

Agora, substituímos CP = beta + T cdot RV - b cdot RP + aV^2 = beta + R^2 T(V - b)( P + aV^2 ) , e na expressão para :

Resposta

As capacidades caloríficas para o gás de van der Waals são:
CV = beta
e
CP = beta + R^2 T(V - b)( P + aV^2 )

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