SOBRE O TRABALHO - Diferentemente do gás ideal, a energia interna do gás de van der Waals também depende do volume e pode ser escrita como , em que e são constantes. b) Calcule as capacidades caloríficas e para o gás de van der Waals. (explicite seus cálculos)

Passo 1

Vamos lá! Você me enviou uma questão sobre o gás de van der Waals, onde a energia interna é dada por . O que precisamos encontrar são as capacidades caloríficas e desse gás. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente as definições de capacidade calorífica a volume constante e a pressão constante, além de como a energia interna está relacionada a essas capacidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a capacidade calorífica a volume constante, . Por definição, é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em uma unidade, mantendo o volume constante. Matematicamente, isso é expressado como:

Passo 3

Agora, vamos derivar a expressão da energia interna em relação à temperatura , mantendo o volume constante:
Isso porque a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é zero, já que é constante.

Passo 4

Então, temos que:
Isso significa que a capacidade calorífica a volume constante do gás de van der Waals é constante e igual a .

Passo 5

Agora, vamos calcular a capacidade calorífica a pressão constante, . A relação entre e para um gás depende da equação de estado do gás. Para um gás real como o de van der Waals, a relação é um pouco mais complexa que para um gás ideal.
A fórmula geral que relaciona e é:

Passo 6

Primeiro, precisamos da equação de estado do gás de van der Waals, que é:
Onde e são constantes específicas do gás, e é a constante dos gases.

Passo 7

Precisamos encontrar e . Vamos começar derivando a equação de estado em relação a mantendo constante para encontrar .
Derivando ambos os lados da equação de estado:
Então:

Passo 8

Agora, precisamos encontrar . Para isso, vamos rearranjar a equação de estado para isolar em função de e , e depois derivar em relação a mantendo constante. No entanto, isso pode ser complexo, então vamos usar a relação de reciprocidade termodinâmica:

Passo 9

Precisamos agora encontrar . Derivando a equação de estado com respeito a mantendo constante:
Expandindo e derivando:
Portanto:

Passo 10

Substituindo e na expressão para :

Passo 11

Agora, substituímos , e na expressão para :

Resposta

As capacidades caloríficas para o gás de van der Waals são:
e

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