Quando o Sol se encontra diretamente sobre nossas cabeças, a energia térmica incidente sobre a Terra vale EO = 1,4 kW/m2. Assumindo o Sol como um corpo negro perfeito, de raio r = 7x105 km, que se encontra a uma distância d = 1,5x108 km da Terra, qual a temperatura do Sol? Dado: constante de Stefan-Boltzmann = 5,67 x 10-8/2K4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos fala sobre a energia térmica que o Sol irradia e como isso chega até a Terra. Vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a temperatura de um corpo negro com a energia que ele emite. Para resolver isso, precisamos das seguintes informações:
  • Energia incidente na Terra: $ E_O = 1,4 , kW/m^2 $
  • Raio do Sol: $ r = 7 \times 10^5 , km $
  • Distância Terra-Sol: $ d = 1,5 \times 10^8 , km $
  • Constante de Stefan-Boltzmann: $ \sigma = 5,67 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Raio do Sol: $ r = 7 \times 10^5 , km = 7 \times 10^8 , m $
  • Distância Terra-Sol: $ d = 1,5 \times 10^8 , km = 1,5 \times 10^{11} , m $
  • Energia incidente na Terra: $ E_O = 1,4 , kW/m^2 = 1,4 \times 10^3 , W/m^2 $

Passo 3

Sabemos que o Sol emite energia como um corpo negro, então a potência total emitida pelo Sol é dada por:
P = 4pi r^2 sigma T^4
Onde:
  • $ P $ é a potência emitida pelo Sol
  • $ r $ é o raio do Sol
  • $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann
  • $ T $ é a temperatura do Sol que queremos encontrar

Passo 4

Essa potência se espalha uniformemente pela superfície de uma esfera com raio igual à distância entre a Terra e o Sol. A intensidade da energia na Terra é:
EO = P4pi d^2
Substituindo $ P $ da equação anterior:
P

Passo 5

Agora, vamos isolar $ T^4 $ na equação:
T^4
E então:
T^4 = EO cdot d^2sigma cdot r^2

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos na equação:
T = ( 1,4 times 10^3 , W/m^2 times (1,5 times 10^11 , m)^25,67 times 10^-8 , W/m^2K^4 times (7 times 10^8 , m)^2 )^14

Passo 7

Calculando passo a passo:
  1. Calcular $ d^2 $:
d^2
  1. Calcular $ r^2 $:
(1,5 times 10^11)^2 = 2,25 times 10^22 , m^2
  1. Substituir na equação:
r^2

Passo 8

Simplificando os cálculos:
1,4 times 10^3 times 2,25 times 10^225,67 times 10^-8 times 4,9 times 10^17 = 3,15 times 10^252,7763 times 10^10 approx 1,135 times 10^15
Então:
T = (1,135 times 10^15)^14

Passo 9

Calculando a raiz quarta:
T approx 1,135^14 times (10^15)^14 approx 1,03 times 10^3,75
Sabendo que $ 10^{3} = 1000 $ e $ 10^{0,75} \approx 562 $:
10^3 = 1000

Resposta

A temperatura do Sol é aproximadamente 580 K.

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