Quando o Sol se encontra diretamente sobre nossas cabeças, a energia térmica incidente sobre a Terra vale EO = 1,4 kW/m2. Assumindo o Sol como um corpo negro perfeito, de raio r = 7x105 km, que se encontra a uma distância d = 1,5x108 km da Terra, qual a temperatura do Sol? Dado: constante de Stefan-Boltzmann = 5,67 x 10-8/2K4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos fala sobre a energia térmica que o Sol irradia e como isso chega até a Terra. Vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a temperatura de um corpo negro com a energia que ele emite. Para resolver isso, precisamos das seguintes informações:
- Energia incidente na Terra: $ E_O = 1,4 , kW/m^2 $
- Raio do Sol: $ r = 7 \times 10^5 , km $
- Distância Terra-Sol: $ d = 1,5 \times 10^8 , km $
- Constante de Stefan-Boltzmann: $ \sigma = 5,67 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
- Raio do Sol: $ r = 7 \times 10^5 , km = 7 \times 10^8 , m $
- Distância Terra-Sol: $ d = 1,5 \times 10^8 , km = 1,5 \times 10^{11} , m $
- Energia incidente na Terra: $ E_O = 1,4 , kW/m^2 = 1,4 \times 10^3 , W/m^2 $
Passo 3
Sabemos que o Sol emite energia como um corpo negro, então a potência total emitida pelo Sol é dada por:
Onde:
- $ P $ é a potência emitida pelo Sol
- $ r $ é o raio do Sol
- $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann
- $ T $ é a temperatura do Sol que queremos encontrar
Passo 4
Essa potência se espalha uniformemente pela superfície de uma esfera com raio igual à distância entre a Terra e o Sol. A intensidade da energia na Terra é:
Substituindo $ P $ da equação anterior:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ T^4 $ na equação:
E então:
Passo 6
Vamos substituir os valores numéricos na equação:
Passo 7
Calculando passo a passo:
- Calcular $ d^2 $:
- Calcular $ r^2 $:
- Substituir na equação:
Passo 8
Simplificando os cálculos:
Então:
Passo 9
Calculando a raiz quarta:
Sabendo que $ 10^{3} = 1000 $ e $ 10^{0,75} \approx 562 $:
Resposta
A temperatura do Sol é aproximadamente 580 K.