Solenóide com Bobina
Um solenóide longo, com 220 espiras/cm e diâmetro de 3,2 cm, transporta uma corrente de 1,5A. Em seu centro é colocada uma bobina compacta de 130 voltas, com diâmetro de 2,1 cm. A corrente no solenóide é reduzida a zero e depois é aumentada até 1,5 A no outro sentido a uma taxa constante por um período de 50 ms . Qual é o valor absoluto da fem induzida que aparece na bobina central enquanto a corrente no solenóide está sendo mudada?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um solenóide, que é como um fio enrolado várias vezes para criar um campo magnético quando a corrente passa por ele. Neste caso, o solenóide tem 220 espiras por centímetro e um diâmetro de 3,2 cm, transportando uma corrente de 1,5 A. No centro desse solenóide, colocamos uma bobina compacta com 130 voltas e diâmetro de 2,1 cm. A corrente no solenóide é inicialmente reduzida a zero e depois aumentada até 1,5 A no sentido contrário em 50 ms. Queremos descobrir qual é a fem induzida (força eletromotriz) que aparece na bobina central enquanto a corrente no solenóide está sendo alterada.
Para resolver isso, vamos precisar entender o campo magnético de um solenóide e como a variação desse campo induz uma fem na bobina central. Vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a mudança no fluxo magnético com a fem induzida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo magnético ( B = mu0 cdot n cdot I ) criado pelo solenóide. A fórmula para o campo magnético no interior de um solenóide longo é:
n = 220 , espiras/cm times 100 , cm/m = 22000 , espiras/m
Onde:
  • B = 4pi times 10^-7 cdot 22000 cdot 1,5 é a permeabilidade do vácuo ( ),
  • é o número de espiras por metro,
  • é a corrente.
Primeiro, precisamos converter as unidades das espiras por centímetro para espiras por metro:
Agora, substituímos os valores na fórmula:

Passo 3

Vamos calcular o valor numérico do campo magnético:
B = 4pi times 10^-7 cdot 22000 cdot 1,5
B = 4 times 3,1416 times 10^-7 times 22000 times 1,5
B approx 4 times 3,1416 times 10^-7 times 33000
B approx 4 times 3,1416 times 10^-7 times 3,3 times 10^4
B approx 4 times 3,1416 times 3,3 times 10^-7 + 4
B approx 4 times 3,1416 times 3,3 times 10^-3
B approx 4 times 10,373 times 10^-3 , T
B approx 0,0415 , T

Passo 4

Agora, vamos encontrar a área ( A = pi cdot ( d2 )^2 ) da bobina central para calcular o fluxo magnético ( A = pi cdot ( 2,1 , cm2 )^2 ) que passa por ela. A área de um círculo é dada por:
A = pi cdot ( 0,021 , m2 )^2
Onde A = pi cdot (0,0105)^2 é o diâmetro da bobina central.
Substituindo:
A approx 3,1416 times 0,00011025 , m^2
Convertendo para metros:
A approx 0,000346 , m^2

Passo 5

Agora, calculamos o fluxo magnético ( Phi = B cdot A cdot N ) através da bobina:
Phi = 0,0415 , T cdot 0,000346 , m^2 cdot 130
Onde Phi approx 0,0415 times 0,000346 times 130 é o número de voltas da bobina central (130).
Phi approx 0,0415 times 0,045 , Wb
Phi approx 0,0018675 , Wb

Passo 6

A Lei de Faraday nos diz que a fem induzida ( E = -N cdot dPhidt ) é igual à taxa de variação do fluxo magnético:
|E| = N cdot dPhidt
Como estamos interessados apenas no valor absoluto da fem, podemos ignorar o sinal:
dIdt = 3,0 , A0,050 , s = 60 , A/s
Sabemos que a corrente está sendo alterada a uma taxa constante em 50 ms ( dBdt = mu0 cdot n cdot dIdt ) para mudar de dBdt = 4pi times 10^-7 cdot 22000 cdot 60 a dBdt = 4 times 3,1416 times 10^-7 times 22000 times 60 , ou seja, uma variação total de dBdt approx 4 times 3,1416 times 22000 times 60 times 10^-7 .
A taxa de variação da corrente ( dBdt approx 4 times 3,1416 times 1,32 times 10^6 times 10^-7 ) é:
dBdt approx 4 times 3,1416 times 0,132
Como dBdt approx 1,66 times 10^-2 , T/s , então:
|E| = N cdot A cdot dBdt
|E| = 130 cdot 0,000346 , m^2 cdot 0,0166 , T/s
|E| approx 130 times 0,000346 times 0,0166
|E| approx 130 times 5,75 times 10^-5
|E| approx 0,007475 , V
Agora, calculamos a fem induzida:

Resposta

O valor absoluto da fem induzida na bobina central é aproximadamente 7,5 mV.

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