Um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de um eixo no plano é denominado sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido utilizamos as integrais definidas, assim é fundamental identificar a função a ser integrada e o limite de integração. Assim, deseja-se calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas: y=Vx,y=0,x=0,x=1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que é formado quando giramos uma região plana em torno do eixo x. As curvas que delimitam essa região são:
  • $ y = \sqrt{x} $
  • $ y = 0 $ (o eixo x)
  • $ x = 0 $
  • $ x = 1 $
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrais definidas. Precisamos identificar a função que vai ser girada e os limites de integração, que são os valores de $ x $ de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. A curva $ y = \sqrt{x} $ começa em $ x = 0 $ e vai até $ x = 1 $, onde $ y = 1 $. A linha $ y = 0 $ é o eixo x, e as linhas verticais $ x = 0 $ e $ x = 1 $ delimitam o intervalo de integração.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o volume usando o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo x, o volume pode ser encontrado integrando a área de cada disco infinitesimal:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, $ f(x) $ é a função que está sendo girada, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.

Passo 4

No nosso caso, $ f(x) = \sqrt{x} $, $ a = 0 $ e $ b = 1 $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
f(x) = raizx

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
(raizx)^2 = x
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 x , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de $ x $ em relação a $ x $ de 0 a 1:
x
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos do $ C $. Avaliamos de 0 a 1:
x

Passo 7

Agora, multiplicamos o resultado da integral por $ \pi $ para encontrar o volume:
pi

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação da região delimitada pelas curvas $ y = \sqrt{x} $, $ y = 0 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $ em torno do eixo x é $ \frac{\pi}{2} $ unidades cúbicas.

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