O departamento de compras de uma empresa está verificando determinadas peças de vários fornecedores. Cada fornecedor enviou lotes de 10 peças, onde serão avaliadas três peças de cada lote. Uma dos fornecedores enviou um lote com três peças defeituosas e sete peças perfeitas. Sendo escolhida três peças aleatoriamente desse lote, a probabilidade de pelo menos duas peças serem perfeitas é de aproximadamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. O departamento de compras recebeu um lote de 10 peças de um fornecedor, sendo que 3 são defeituosas e 7 são perfeitas. A gente vai escolher 3 peças desse lote aleatoriamente e quer saber qual a probabilidade de pelo menos 2 dessas peças serem perfeitas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade, especialmente combinando maneiras de selecionar as peças perfeitas e defeituosas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas maneiras existem de escolher 3 peças de um total de 10. Isso é uma combinação, porque a ordem não importa. A fórmula da combinação é:
Onde:
- $ n $ é o número total de itens.
- $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.
- $ ! $ representa o fatorial de um número.
Então, para nosso caso:
Isso significa que há 120 maneiras diferentes de escolher 3 peças de 10.
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de pelo menos 2 peças serem perfeitas. “Pelo menos 2” inclui duas situações:
- Exatamente 2 peças perfeitas e 1 defeituosa.
- Todas as 3 peças sendo perfeitas.
Vamos calcular a probabilidade de cada situação e depois somá-las.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a quantidade de maneiras de escolher exatamente 2 peças perfeitas e 1 defeituosa.
-
Há 7 peças perfeitas, e queremos escolher 2 delas:
-
Há 3 peças defeituosas, e queremos escolher 1 delas:
Então, o total de maneiras de escolher exatamente 2 perfeitas e 1 defeituosa é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a quantidade de maneiras de escolher todas as 3 peças perfeitas.
-
Há 7 peças perfeitas, e queremos escolher 3 delas:
Passo 6
Agora, somamos as duas situações para obter o total de maneiras favoráveis:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a probabilidade, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis:
Resposta
A probabilidade de pelo menos duas peças serem perfeitas é de aproximadamente 81,67%.