- Quando solto do repouso da posição angular de
um pêndulo simples de massa
e comprimento
colide com um bloco de massa
. A colisão não é elástica, e ocorre no ponto mais baixo do movimento do péncuio. Após a colisão, o bloco se move para direita em uma superfície com coeficiente de atrito cinético de 0,3 . Após a colisão, o pêndulo retorna e alcança uma posição angular máxima de
.
c) Qual distância o bloco percorre na superfície com atrito antes de parar? Quanto tempo ele leva até parar?
c) Qual distância o bloco percorre na superfície com atrito antes de parar? Quanto tempo ele leva até parar?
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolver. Temos um pêndulo de massa $ m = 4 , kg $ e comprimento $ L = 0,5 , m $ que é solto do repouso a $ 45^\circ $. Ele colide com um bloco de massa $ M = 5 , kg $ no ponto mais baixo do movimento. A colisão não é elástica, ou seja, parte da energia é perdida. Após a colisão, o bloco se move sobre uma superfície com atrito cinético ($ \mu_k = 0,3 $) e o pêndulo sobe até $ 30^\circ $. Queremos descobrir:
- A distância que o bloco percorre antes de parar.
- O tempo que o bloco leva para parar.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia, conservação do momento linear e as equações do movimento com atrito.
Passo 2
Vamos começar calculando a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo antes da colisão. Como o pêndulo parte do repouso, toda a energia potencial convertida em energia cinética no ponto mais baixo.
A energia potencial inicial ($ E_p $) quando o pêndulo está a $ 45^\circ $ é dada por:
onde $ h $ é a altura, $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,8 , m/s^2 $).
Para encontrar $ h $, usamos:
com $ \theta = 45^\circ $.
Então,
Agora, calculamos $ E_p $:
Essa energia se converte em energia cinética ($ E_c $) no ponto mais baixo:
Igualando $ E_p $ a $ E_c $:
Então, a velocidade do pêndulo no ponto de colisão é aproximadamente $ 1,693 , m/s $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade comum após a colisão usando a conservação do momento linear. Como a colisão não é elástica, o pêndulo e o bloco se movem juntos após a colisão.
A fórmula da conservação do momento linear é:
onde:
- $ m = 4 , kg $ (massa do pêndulo),
- $ M = 5 , kg $ (massa do bloco),
- $ v = 1,693 , m/s $ (velocidade do pêndulo antes da colisão),
- $ v’ $ (velocidade comum após a colisão).
Isolando $ v’ $:
Então, após a colisão, tanto o pêndulo quanto o bloco têm uma velocidade de aproximadamente $ 0,752 , m/s $.
Passo 4
Após a colisão, o bloco se move sobre uma superfície com atrito. Vamos calcular a distância que ele percorre antes de parar e o tempo que leva para isso.
Primeiro, determinamos a força de atrito que age contra o movimento:
onde $ \mu_k = 0,3 $ e $ N $ é a força normal. Como o movimento é horizontal e não há outras forças verticais além do peso, $ N = M g $.
Então,
A aceleração de desaceleração ($ a $) é dada por:
Como é uma desaceleração, $ a = -2,94 , m/s^2 $.
Agora, para encontrar a distância ($ d $) até parar, usamos a equação de movimento:
Onde $ v_f = 0 $ (quando para), $ v_i = 0,752 , m/s $, e $ a = -2,94 , m/s^2 $.
Isolando $ d $:
Então, o bloco percorre aproximadamente $ 0,096 , m $, ou seja, $ 9,6 , cm $, antes de parar.
Passo 5
Para calcular o tempo ($ t $) que o bloco leva para parar, usamos a equação de movimento:
Onde $ v_f = 0 $, $ v_i = 0,752 , m/s $, e $ a = -2,94 , m/s^2 $.
Isolando $ t $:
Então, o bloco leva aproximadamente $ 0,255 , segundos $ para parar.
Resposta
O bloco percorre cerca de $ 0,096 , metros $ antes de parar e leva aproximadamente $ 0,255 , segundos $ para isso.