Utilize o símbolo de Levi-Civita para mostrar a propriedade (d) para os produtos vetoriais:
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o símbolo de Levi-Civita para provar uma propriedade que envolve produtos vetoriais e escalares de quatro vetores
,
,
e
. A propriedade é:
Vamos precisar entender como representar produtos vetoriais e escalares usando o símbolo de Levi-Civita para manipular essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o símbolo de Levi-Civita. Ele é representado por
e é usado para calcular produtos vetoriais em coordenadas. Esse símbolo é 1 se
for uma permutação par de (1,2,3), -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se houver repetição de índices.
O produto vetorial
pode ser escrito usando Levi-Civita como:
Aqui,
é a componente
do vetor resultante.
Passo 3
Agora, vamos escrever o produto vetorial
da mesma forma:
Aqui,
é a componente
do vetor resultante.
Passo 4
O próximo passo é calcular o produto escalar
. Usando as expressões que obtivemos:
Observe que estamos somando sobre o índice
devido ao produto escalar.
Passo 5
Agora, vamos usar uma propriedade importante do símbolo de Levi-Civita:
Onde
é o delta de Kronecker, que é 1 se os índices são iguais e 0 caso contrário.
Substituindo essa propriedade na expressão anterior:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão usando o delta de Kronecker:
Aqui, estamos usando a propriedade do delta para contrair os índices, o que resulta em produtos escalares.
Resposta
Assim, mostramos que: