Utilize o símbolo de Levi-Civita para mostrar a propriedade (d) para os produtos vetoriais:
(A times B) cdot(C times D)=(A cdot C)(B cdot D)-(A cdot D)(B cdot C)

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar o símbolo de Levi-Civita para provar uma propriedade que envolve produtos vetoriais e escalares de quatro vetores A, B, C e D. A propriedade é:
(A times B) cdot (C times D) = (A cdot C)(B cdot D) - (A cdot D)(B cdot C)
Vamos precisar entender como representar produtos vetoriais e escalares usando o símbolo de Levi-Civita para manipular essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o símbolo de Levi-Civita. Ele é representado por varepsilonijk e é usado para calcular produtos vetoriais em coordenadas. Esse símbolo é 1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se houver repetição de índices.
O produto vetorial A times B pode ser escrito usando Levi-Civita como:
(A times B)i = varepsilonijk Aj Bk
Aqui, (A times B)i é a componente i do vetor resultante.

Passo 3

Agora, vamos escrever o produto vetorial C times D da mesma forma:
(C times D)m = varepsilonmnp Cn Dp
Aqui, (C times D)m é a componente m do vetor resultante.

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto escalar (A times B) cdot (C times D). Usando as expressões que obtivemos:
(A times B) cdot (C times D) = (A times B)i cdot (C times D)i = varepsilonijk Aj Bk varepsilonimn Cm Dn
Observe que estamos somando sobre o índice i devido ao produto escalar.

Passo 5

Agora, vamos usar uma propriedade importante do símbolo de Levi-Civita:
varepsilonijk varepsilonimn = de
Onde de é o delta de Kronecker, que é 1 se os índices são iguais e 0 caso contrário.
Substituindo essa propriedade na expressão anterior:
varepsilonijk varepsilonimn Aj Bk Cm Dn = (de

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão usando o delta de Kronecker:
(de
Aqui, estamos usando a propriedade do delta para contrair os índices, o que resulta em produtos escalares.

Resposta

Assim, mostramos que:
(A times B) cdot (C times D) = (A cdot C)(B cdot D) - (A cdot D)(B cdot C)

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