A solução de um oscilador fracamente amortecido (
) é dada por
, onde
é a constante de amortecimento por unidade de massa,
é a freqüência natural de oscilação e
é a amplitude inicial. Em
de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (a) A partir da solução
determine a expressão literal para a velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador que está levemente amortecido, ou seja, ele oscila mas a amplitude diminui com o tempo. A posição desse oscilador em qualquer instante de tempo
é dada pela função:
Aqui:
-
é a constante de amortecimento por unidade de massa. -
é a frequência natural de oscilação. -
é a amplitude inicial.
Queremos encontrar a expressão para a velocidade
desse oscilador. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos permite encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo
. Matemáticamente, isso é representado por:
Nossa tarefa agora é derivar a expressão de
para encontrar
.
Passo 3
Vamos derivar
.
Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, já que temos uma função sendo o produto de duas outras funções:
e
.
A regra do produto diz que:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas individuais:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas encontradas:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar o sinal negativo:
Resposta
A expressão da velocidade do oscilador é: