A solução de um oscilador fracamente amortecido ( gamma ll omega0 ) é dada por x(t)=A0 e^-gamma t / 2 cos (omega0 t), onde gamma é a constante de amortecimento por unidade de massa, omega0 é a freqüência natural de oscilação e A0 é a amplitude inicial. Em 1 / 4 de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (a) A partir da solução x(t) determine a expressão literal para a velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador que está levemente amortecido, ou seja, ele oscila mas a amplitude diminui com o tempo. A posição desse oscilador em qualquer instante de tempo x(t) = A0 e^-gamma t / 2 cos (omega0 t) é dada pela função:
Aqui:
  • é a constante de amortecimento por unidade de massa.
  • é a frequência natural de oscilação.
  • é a amplitude inicial.
Queremos encontrar a expressão para a velocidade desse oscilador. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos permite encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade v(t) = dx(t)dt é a derivada da posição em relação ao tempo . Matemáticamente, isso é representado por:
Nossa tarefa agora é derivar a expressão de para encontrar .

Passo 3

Vamos derivar ddt [u(t) cdot v(t)] = u'(t) cdot v(t) + u(t) cdot v'(t) .
Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, já que temos uma função sendo o produto de duas outras funções: e .
A regra do produto diz que:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas individuais:
  1. Derivada de u'(t) = ddt e^-gamma t / 2 = -gamma2 e^-gamma t / 2 :
v'(t) = ddt cos (omega0 t) = -omega0 sin (omega0 t)
  1. Derivada de :

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:
v(t) = A0 [ u'(t) cdot v(t) + u(t) cdot v'(t) ]
Substituindo as derivadas encontradas:
v(t) = A0 [ -gamma2 e^-gamma t / 2 cos (omega0 t) + e^-gamma t / 2 ( -omega0 sin (omega0 t) ) ]

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
v(t) = A0 e^-gamma t / 2 [ -gamma2 cos (omega0 t) - omega0 sin (omega0 t) ]
Podemos fatorar o sinal negativo:
v(t) = -A0 e^-gamma t / 2 [ gamma2 cos (omega0 t) + omega0 sin (omega0 t) ]

Resposta

A expressão da velocidade do oscilador é:
v(t) = -A0 e^-gamma t / 2 ( gamma2 cos (omega0 t) + omega0 sin (omega0 t) )

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