A solução de um oscilador fracamente amortecido ( ) é dada por , onde é a constante de amortecimento por unidade de massa, é a freqüência natural de oscilação e é a amplitude inicial. Em de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (a) A partir da solução determine a expressão literal para a velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador que está levemente amortecido, ou seja, ele oscila mas a amplitude diminui com o tempo. A posição desse oscilador em qualquer instante de tempo é dada pela função:
Aqui:
  • é a constante de amortecimento por unidade de massa.
  • é a frequência natural de oscilação.
  • é a amplitude inicial.
Queremos encontrar a expressão para a velocidade desse oscilador. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que nos permite encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo . Matemáticamente, isso é representado por:
Nossa tarefa agora é derivar a expressão de para encontrar .

Passo 3

Vamos derivar .
Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, já que temos uma função sendo o produto de duas outras funções: e .
A regra do produto diz que:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas individuais:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas encontradas:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar o sinal negativo:

Resposta

A expressão da velocidade do oscilador é:

Exercícios relacionados

-44 O ar úmido se torna um condutor (as moléculas se ionizam) quando é submetido a um campo elétrico maior que . Para esse valor de campo, determine o módulo da força eletrostática a que é submetido (a) um elétron e (b) uma molécula da qual foi removido um elétron.
Um bloco de 2 Kg está preso a uma mola horizontal. A constante de força é . O bloco é afastado 5 cm da sua posição de equilíbrio e liberado em . Escreva em função do tempo .
A solução de um oscilador fracamente amortecido ( ) é dada por , onde é a constante de amortecimento por unidade de massa, é a freqüência natural de oscilação e é a amplitude inicial. Em de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. © Considerando-se agora que a razão entre a energia total calculada em e em é de 4/5, e que o período do sistema é de 10 s , determine o valor de . Dado .
Uma barra homogênea de massa e comprimento está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa, perpendicularmente, a uma distância do seu centro, cf. mostra a figura. Determine o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos angulares. [Sugestão: o momento de inércia em relação ao centro de massa da barra é . Use o teorema dos eixos paralelos].