A solução de um oscilador fracamente amortecido ( ) é dada por , onde é a constante de amortecimento por unidade de massa, é a freqüência natural de oscilação e é a amplitude inicial. Em de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. © Considerando-se agora que a razão entre a energia total calculada em e em é de 4/5, e que o período do sistema é de 10 s , determine o valor de . Dado .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um oscilador fracamente amortecido, que basicamente é um sistema que oscila (como um pêndulo) mas com um atrito pequeno que faz a oscilação diminuir com o tempo. A solução desse sistema é dada por uma função que mostra como a posição varia com o tempo. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender um pouco sobre energia em oscilações, como a energia total muda com o tempo e usar algumas fórmulas matemáticas relacionadas a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um oscilador harmônico simples (sem amortecimento) é a soma das energias cinética e potencial, e ela permanece constante. Agora, quando temos amortecimento, essa energia decai ao longo do tempo. A energia total em um tempo é dada por:
Aqui, é a energia inicial e é a constante de amortecimento.

Passo 3

No exercício, a gente sabe que:
  • Em , a energia é totalmente cinética.
  • Em , a energia é totalmente potencial.
  • A razão entre a energia em e é .
  • O período do sistema é de 10 segundos.
Vamos usar a fórmula da energia total para esses dois momentos:

Passo 4

A razão entre essas duas energias é:
Sabemos que essa razão é , então:

Passo 5

Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Sabendo que segundos:

Resposta

O valor de é 0,088 s .

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A solução de um oscilador fracamente amortecido ( ) é dada por , onde é a constante de amortecimento por unidade de massa, é a freqüência natural de oscilação e é a amplitude inicial. Em de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (a) A partir da solução determine a expressão literal para a velocidade.
-44 O ar úmido se torna um condutor (as moléculas se ionizam) quando é submetido a um campo elétrico maior que . Para esse valor de campo, determine o módulo da força eletrostática a que é submetido (a) um elétron e (b) uma molécula da qual foi removido um elétron.
Uma barra homogênea de massa e comprimento está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa, perpendicularmente, a uma distância do seu centro, cf. mostra a figura. Determine o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos angulares. [Sugestão: o momento de inércia em relação ao centro de massa da barra é . Use o teorema dos eixos paralelos].
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