A solução de um oscilador fracamente amortecido ( gamma ll omega0 ) é dada por x(t)=A0 e^-gamma t / 2 cos (omega0 t), onde gamma é a constante de amortecimento por unidade de massa, omega0 é a freqüência natural de oscilação e A0 é a amplitude inicial. Em 1 / 4 de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. © Considerando-se agora que a razão entre a energia total calculada em t =T / 2 e em t=T / 4 é de 4/5, e que o período do sistema é de 10 s , determine o valor de gamma. Dado ln (0,8)=0,22.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um oscilador fracamente amortecido, que basicamente é um sistema que oscila (como um pêndulo) mas com um atrito pequeno que faz a oscilação diminuir com o tempo. A solução desse sistema é dada por uma função que mostra como a posição varia com o tempo. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender um pouco sobre energia em oscilações, como a energia total muda com o tempo e usar algumas fórmulas matemáticas relacionadas a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um oscilador harmônico simples (sem amortecimento) é a soma das energias cinética e potencial, e ela permanece constante. Agora, quando temos amortecimento, essa energia decai ao longo do tempo. A energia total E(t) = E0 e^-gamma t em um tempo é dada por:
Aqui, é a energia inicial e é a constante de amortecimento.

Passo 3

No exercício, a gente sabe que:
  • Em E(T4) = E0 e^-gamma T4 , a energia é totalmente cinética.
  • Em E(T2) = E0 e^-gamma T2 , a energia é totalmente potencial.
  • A razão entre a energia em e é .
  • O período do sistema é de 10 segundos.
Vamos usar a fórmula da energia total para esses dois momentos:

Passo 4

A razão entre essas duas energias é:
E(T2)E(T4) = E0 e^-gamma T2E0 e^-gamma T4 = e^-gamma T2 + gamma T4 = e^-gamma T4
Sabemos que essa razão é e^-gamma T4 = 45 , então:

Passo 5

Para resolver para -gamma T4 = ln(45) , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
-gamma T4 = -0,22
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos isolar gamma T4 = 0,22 :
gamma = 0,22 times 4T
gamma = 0,8810 = 0,088 , s^-1
Sabendo que segundos:

Resposta

O valor de é 0,088 s .

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