A solução de um oscilador fracamente amortecido (
) é dada por
, onde
é a constante de amortecimento por unidade de massa,
é a freqüência natural de oscilação e
é a amplitude inicial. Em
de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. © Considerando-se agora que a razão entre a energia total calculada em
e em
é de 4/5, e que o período do sistema é de 10 s , determine o valor de
. Dado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um oscilador fracamente amortecido, que basicamente é um sistema que oscila (como um pêndulo) mas com um atrito pequeno que faz a oscilação diminuir com o tempo. A solução desse sistema é dada por uma função que mostra como a posição
varia com o tempo. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender um pouco sobre energia em oscilações, como a energia total muda com o tempo e usar algumas fórmulas matemáticas relacionadas a isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um oscilador harmônico simples (sem amortecimento) é a soma das energias cinética e potencial, e ela permanece constante. Agora, quando temos amortecimento, essa energia decai ao longo do tempo. A energia total
em um tempo
é dada por:
Aqui,
é a energia inicial e
é a constante de amortecimento.
Passo 3
No exercício, a gente sabe que:
- Em
, a energia é totalmente cinética. - Em
, a energia é totalmente potencial. - A razão entre a energia em
e é . - O período
do sistema é de 10 segundos.
Vamos usar a fórmula da energia total para esses dois momentos:
Passo 4
A razão entre essas duas energias é:
Sabemos que essa razão é
, então:
Passo 5
Para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Sabendo que
segundos:
Resposta
O valor de
é 0,088 s
.
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A solução de um oscilador fracamente amortecido (
) é dada por
, onde
é a constante de amortecimento por unidade de massa,
é a freqüência natural de oscilação e
é a amplitude inicial. Em
de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (a) A partir da solução
determine a expressão literal para a velocidade.
-44 O ar úmido se torna um condutor (as moléculas se ionizam) quando é submetido a um campo elétrico maior que
. Para esse valor de campo, determine o módulo da força eletrostática a que é submetido (a) um elétron e (b) uma molécula da qual foi removido um elétron.
Uma barra homogênea de massa
e comprimento
está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa, perpendicularmente, a uma distância
do seu centro, cf. mostra a figura. Determine o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos angulares. [Sugestão: o momento de inércia em relação ao centro de massa da barra é
. Use o teorema dos eixos paralelos].
As asas do avião são moldadas para fazer o ar se mover mais rápido sobre o topo dela, de modo que quando o ar se move mais rápido, a pressão do ar diminui sobre o topo. Assim, a pressão no topo da asa é menor do que a pressão na sua parte inferior. Essa diferença de pressão cria uma força na asa que a levanta no ar. Em uma situação particular, as linhas de corrente horizontais em torno das asas de um pequeno avião são tais que a velocidade sobre a superfície superior é igual a 70,0
e sobre a superfície inferior é igual a
. Se a área da asa é igual a 16,2
, qual é a força vertical resultante (incluindo o efeito da gravidade) sobre o avião? A densidade do ar é igual a
. Resp.: