Uma barra homogênea de massa
e comprimento
está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa, perpendicularmente, a uma distância
do seu centro, cf. mostra a figura. Determine o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos angulares. [Sugestão: o momento de inércia em relação ao centro de massa da barra é
. Use o teorema dos eixos paralelos].
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra homogênea com massa
e comprimento
que pode girar em torno de um eixo horizontal. Esse eixo está a uma distância
do centro da barra. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o período de oscilação dessa barra quando ela se move com pequenos deslocamentos angulares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e o teorema dos eixos paralelos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais a massa estiver longe do eixo, maior será o momento de inércia. Para uma barra homogênea girando em torno do seu centro, o momento de inércia é dado por:
Passo 3
Agora, como a barra está girando em torno de um eixo que não passa pelo seu centro, vamos usar o teorema dos eixos paralelos. Esse teorema nos ajuda a encontrar o momento de inércia em relação a um novo eixo que é paralelo ao eixo original e a uma certa distância
. A fórmula é:
Aqui,
é o momento de inércia em relação ao novo eixo,
é o momento de inércia em relação ao centro de massa,
é a massa da barra e
é a distância entre os dois eixos.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula:
Isso nos dá o momento de inércia total da barra em relação ao eixo de rotação.
Passo 5
Agora, para encontrar o período de oscilação, usamos a fórmula do pêndulo físico. O período
é dado por:
Onde:
-
é o momento de inércia que acabamos de calcular, -
é a massa da barra, -
é a aceleração da gravidade, -
é a distância do eixo de rotação ao centro de massa da barra, que neste caso é .
Passo 6
Substituindo
na fórmula do período:
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo no numerador por
:
Passo 7
Finalmente, temos a expressão para o período de oscilação da barra:
Resposta
O período de oscilação da barra é dado por:
Exercícios relacionados
A solução de um oscilador fracamente amortecido (
) é dada por
, onde
é a constante de amortecimento por unidade de massa,
é a freqüência natural de oscilação e
é a amplitude inicial. Em
de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. © Considerando-se agora que a razão entre a energia total calculada em
e em
é de 4/5, e que o período do sistema é de 10 s , determine o valor de
. Dado
.
A solução de um oscilador fracamente amortecido (
) é dada por
, onde
é a constante de amortecimento por unidade de massa,
é a freqüência natural de oscilação e
é a amplitude inicial. Em
de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (a) A partir da solução
determine a expressão literal para a velocidade.
As asas do avião são moldadas para fazer o ar se mover mais rápido sobre o topo dela, de modo que quando o ar se move mais rápido, a pressão do ar diminui sobre o topo. Assim, a pressão no topo da asa é menor do que a pressão na sua parte inferior. Essa diferença de pressão cria uma força na asa que a levanta no ar. Em uma situação particular, as linhas de corrente horizontais em torno das asas de um pequeno avião são tais que a velocidade sobre a superfície superior é igual a 70,0
e sobre a superfície inferior é igual a
. Se a área da asa é igual a 16,2
, qual é a força vertical resultante (incluindo o efeito da gravidade) sobre o avião? A densidade do ar é igual a
. Resp.:
A solução de um oscilador fracamente amortecido (
) é dada por
, onde
é a constante de amortecimento por unidade de massa,
é a freqüência natural de oscilação e
é a amplitude inicial. Em
de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (b) Obtenha as expressões literais para a energia total em
e
, onde T é o período da oscilação. Leve em conta que a energia total é a soma das energias potencial (
) e cinética (
).