Uma barra homogênea de massa M e comprimento L está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa, perpendicularmente, a uma distância x do seu centro, cf. mostra a figura. Determine o período de oscilação da barra para pequenos deslocamentos angulares. [Sugestão: o momento de inércia em relação ao centro de massa da barra é ML^2 / 12. Use o teorema dos eixos paralelos].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra homogênea com massa M e comprimento L que pode girar em torno de um eixo horizontal. Esse eixo está a uma distância x do centro da barra. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o período de oscilação dessa barra quando ela se move com pequenos deslocamentos angulares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e o teorema dos eixos paralelos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais a massa estiver longe do eixo, maior será o momento de inércia. Para uma barra homogênea girando em torno do seu centro, o momento de inércia é dado por:
Icm = M L^212

Passo 3

Agora, como a barra está girando em torno de um eixo que não passa pelo seu centro, vamos usar o teorema dos eixos paralelos. Esse teorema nos ajuda a encontrar o momento de inércia em relação a um novo eixo que é paralelo ao eixo original e a uma certa distância x. A fórmula é:
I = Icm + M x^2
Aqui, I é o momento de inércia em relação ao novo eixo, Icm é o momento de inércia em relação ao centro de massa, M é a massa da barra e x é a distância entre os dois eixos.

Passo 4

Vamos substituir Icm na fórmula:
I = M L^212 + M x^2
Isso nos dá o momento de inércia total da barra em relação ao eixo de rotação.

Passo 5

Agora, para encontrar o período de oscilação, usamos a fórmula do pêndulo físico. O período T é dado por:
T = 2 pi raizIM g h
Onde:
  • I é o momento de inércia que acabamos de calcular,
  • M é a massa da barra,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a distância do eixo de rotação ao centro de massa da barra, que neste caso é x.

Passo 6

Substituindo I na fórmula do período:
T = 2 pi raizM L^212 + M x^2M g x
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo no numerador por M:
T = 2 pi raizL^212 + x^2g x

Passo 7

Finalmente, temos a expressão para o período de oscilação da barra:
T = 2 pi raizL^2/12 + x^2g x

Resposta

O período de oscilação da barra é dado por:
T = 2 pi raizL^2/12 + x^2g x

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