A solução de um oscilador fracamente amortecido (
) é dada por
, onde
é a constante de amortecimento por unidade de massa,
é a freqüência natural de oscilação e
é a amplitude inicial. Em
de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (b) Obtenha as expressões literais para a energia total em
e
, onde T é o período da oscilação. Leve em conta que a energia total é a soma das energias potencial (
) e cinética (
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre um oscilador fracamente amortecido. A gente precisa achar as expressões para a energia total desse oscilador em dois momentos específicos: quando
e
, onde
é o período da oscilação. A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial. Vamos precisar usar as fórmulas para essas energias e entender como a amplitude do movimento muda com o tempo devido ao amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período
de uma oscilação é o tempo que leva para completar um ciclo inteiro. Para um oscilador não amortecido, o período é dado por:
Mas como o amortecimento é fraco (
), podemos usar essa aproximação mesmo no caso amortecido.
Passo 3
Agora, vamos identificar os tempos que nos interessam:
Substituindo
pela expressão acima:
Passo 4
A posição
do oscilador é dada por:
A velocidade
é a derivada de
em relação ao tempo:
Passo 5
Vamos calcular a energia potencial
e a energia cinética
nas duas ocasiões.
A energia potencial é:
A energia cinética é:
Passo 6
Primeiro, vamos calcular em
:
Porque
.
Então, nesse instante, a energia potencial
é zero. A energia total é somente a energia cinética:
Simplificando
nesse tempo:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular em
:
A energia cinética
nesse instante é zero, pois a velocidade é zero. Então, a energia total é somente a energia potencial:
Simplificando:
Resposta
As expressões para a energia total do oscilador em
e
são: