A solução de um oscilador fracamente amortecido ( gamma ll omega0 ) é dada por x(t)=A0 e^-gamma t / 2 cos (omega0 t), onde gamma é a constante de amortecimento por unidade de massa, omega0 é a freqüência natural de oscilação e A0 é a amplitude inicial. Em 1 / 4 de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (b) Obtenha as expressões literais para a energia total em t=T / 4 e t=T / 2, onde T é o período da oscilação. Leve em conta que a energia total é a soma das energias potencial ( (1 / 2) m omega0^2 x^2(t) ) e cinética ( (1 / 2) m(d x(t) / d t)^2 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre um oscilador fracamente amortecido. A gente precisa achar as expressões para a energia total desse oscilador em dois momentos específicos: quando e , onde é o período da oscilação. A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial. Vamos precisar usar as fórmulas para essas energias e entender como a amplitude do movimento muda com o tempo devido ao amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período T = 2piomega0 de uma oscilação é o tempo que leva para completar um ciclo inteiro. Para um oscilador não amortecido, o período é dado por:
Mas como o amortecimento é fraco ( ), podemos usar essa aproximação mesmo no caso amortecido.

Passo 3

Agora, vamos identificar os tempos que nos interessam:
  • t = 2piomega0 cdot 14 = pi2omega0 e t = 2piomega0 cdot 12 = piomega0
Substituindo pela expressão acima:

Passo 4

A posição x(t) = A0 e^-gamma t2 cos(omega0 t) do oscilador é dada por:
v(t) = dx(t)dt = -A0 e^-gamma t2 ( gamma2 cos(omega0 t) + omega0 sin(omega0 t) )
A velocidade é a derivada de em relação ao tempo:

Passo 5

Vamos calcular a energia potencial U(t) = 12 m omega0^2 x(t)^2 e a energia cinética K(t) = 12 m v(t)^2 nas duas ocasiões.
A energia potencial é:
A energia cinética é:

Passo 6

Primeiro, vamos calcular em x(pi2omega0) = A0 e^-gamma pi4omega0 cos(pi2) = 0 :
E(T4) = K(pi2omega0) = 12 m [ v(pi2omega0) ]^2
Porque v(pi2omega0) = -A0 e^-gamma pi4omega0 omega0 .
Então, nesse instante, a energia potencial E(T4) = 12 m A0^2 e^-gamma pi2omega0 omega0^2 é zero. A energia total é somente a energia cinética:
Simplificando nesse tempo:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular em x(piomega0) = A0 e^-gamma pi2omega0 cos(pi) = -A0 e^-gamma pi2omega0 :
E(T2) = U(piomega0) = 12 m omega0^2 [ -A0 e^-gamma pi2omega0 ]^2
A energia cinética E(T2) = 12 m A0^2 e^-gamma piomega0 omega0^2 nesse instante é zero, pois a velocidade é zero. Então, a energia total é somente a energia potencial:
Simplificando:

Resposta

As expressões para a energia total do oscilador em E(T4) = 12 m A0^2 omega0^2 e^-gamma pi2omega0 e E(T2) = 12 m A0^2 omega0^2 e^-gamma piomega0 são:

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