A solução de um oscilador fracamente amortecido ( ) é dada por , onde é a constante de amortecimento por unidade de massa, é a freqüência natural de oscilação e é a amplitude inicial. Em de ciclo, este oscilador tem energia total puramente cinética e sua velocidade é máxima. Em contra partida, na metade de um ciclo completo a energia total é puramente potencial e o módulo do deslocamento é máximo. (b) Obtenha as expressões literais para a energia total em e , onde T é o período da oscilação. Leve em conta que a energia total é a soma das energias potencial ( ) e cinética ( ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre um oscilador fracamente amortecido. A gente precisa achar as expressões para a energia total desse oscilador em dois momentos específicos: quando e , onde é o período da oscilação. A energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial. Vamos precisar usar as fórmulas para essas energias e entender como a amplitude do movimento muda com o tempo devido ao amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período de uma oscilação é o tempo que leva para completar um ciclo inteiro. Para um oscilador não amortecido, o período é dado por:
Mas como o amortecimento é fraco ( ), podemos usar essa aproximação mesmo no caso amortecido.

Passo 3

Agora, vamos identificar os tempos que nos interessam:
Substituindo pela expressão acima:

Passo 4

A posição do oscilador é dada por:
A velocidade é a derivada de em relação ao tempo:

Passo 5

Vamos calcular a energia potencial e a energia cinética nas duas ocasiões.
A energia potencial é:
A energia cinética é:

Passo 6

Primeiro, vamos calcular em :
Porque .
Então, nesse instante, a energia potencial é zero. A energia total é somente a energia cinética:
Simplificando nesse tempo:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular em :
A energia cinética nesse instante é zero, pois a velocidade é zero. Então, a energia total é somente a energia potencial:
Simplificando:

Resposta

As expressões para a energia total do oscilador em e são:

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