Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado.
$(1)
$(1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária do segundo grau:
, e o ponto inicial é
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, onde vamos precisar resolver essa equação para encontrar a função
que satisfaz essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por
(assumindo que
), temos:
Isso nos deixa com uma equação diferencial linear de segunda ordem.
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar uma solução geral para essa equação. Observando que os coeficientes não são constantes, uma abordagem comum é assumir uma solução de forma de série ou tentar uma substituição que simplifique a equação. Vamos tentar uma substituição para tornar a equação mais simples.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição onde
. Calculando as derivadas em relação a
:
Substituindo essas na equação original:
Simplificando:
Como
, podemos reescrever
como
:
Dividindo por 4:
Essa é uma equação de Cauchy-Euler, que tem soluções do tipo
.
Passo 5
Assumindo
, derivamos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes dos termos iguais devem ser zero:
E:
A segunda equação não faz sentido, o que indica que essa tentativa não funcionou. Então, precisamos tentar outra abordagem, como uma solução de série ou outra técnica.
Passo 6
Vamos tentar encontrar uma solução particular. Suponha que
. Derivando:
Substituindo na equação original:
Fatorando
:
Para que isso seja zero, apenas o termo dentro dos parênteses precisa ser zero:
Isso deve ser válido para todo
, o que só é possível se os coeficientes de
e o termo independente forem zero:
Isso nos dá raízes complexas, indicando que as soluções serão senos e cossenos.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.