Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado.
$(1) 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária do segundo grau: , e o ponto inicial é . Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, onde vamos precisar resolver essa equação para encontrar a função que satisfaz essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por (assumindo que ), temos:
Isso nos deixa com uma equação diferencial linear de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar uma solução geral para essa equação. Observando que os coeficientes não são constantes, uma abordagem comum é assumir uma solução de forma de série ou tentar uma substituição que simplifique a equação. Vamos tentar uma substituição para tornar a equação mais simples.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição onde . Calculando as derivadas em relação a :
Substituindo essas na equação original:
Simplificando:
Como , podemos reescrever como :
Dividindo por 4:
Essa é uma equação de Cauchy-Euler, que tem soluções do tipo .

Passo 5

Assumindo , derivamos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes dos termos iguais devem ser zero:
E:
A segunda equação não faz sentido, o que indica que essa tentativa não funcionou. Então, precisamos tentar outra abordagem, como uma solução de série ou outra técnica.

Passo 6

Vamos tentar encontrar uma solução particular. Suponha que . Derivando:
Substituindo na equação original:
Fatorando :
Para que isso seja zero, apenas o termo dentro dos parênteses precisa ser zero:
Isso deve ser válido para todo , o que só é possível se os coeficientes de e o termo independente forem zero:
Isso nos dá raízes complexas, indicando que as soluções serão senos e cossenos.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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