As soluções da equação de onda eletromagnética podem se escrever
E & =E0 e^i(x kx+y ky+z kz-omega t) B & =B0 e^i(x kx+y ky+z kz-omega t)
onde k=kx i+ky j+kz k é o vetor de onda. A partir da lei de Faraday, mostre que k times E=omega B. O que podemos concluir sobre as direções de k, E e B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta as soluções das equações de onda eletromagnética para os campos elétrico E e magnético B. O conteúdo principal aqui envolve Eletromagnetismo, especialmente a Lei de Faraday. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Faraday às equações de onda dadas e utilizar propriedades de produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday na forma diferencial. Essa lei nos diz que uma variação no campo magnético gera um campo elétrico. Matematicamente, é expressa como:
nabla times E = -partial Bpartial t
Aqui, nabla times E representa o rotacional do campo elétrico, e partial Bpartial t é a derivada temporal do campo magnético.

Passo 3

Agora, vamos substituir as soluções das equações de onda fornecidas no enunciado nas expressões da Lei de Faraday. As soluções são:
E = E0 e^i(x kx+y ky+z kz-omega t)
B = B0 e^i(x kx+y ky+z kz-omega t)
Vamos calcular o rotacional de E:
nabla times E = i k times E
Onde k = kx i + ky j + kz k é o vetor de onda.
E a derivada temporal de B:
partial Bpartial t = -iomega B

Passo 4

Substituindo essas expressões na Lei de Faraday:
i k times E = -(-iomega B)
Simplificando:
i k times E = iomega B
Podemos dividir ambos os lados por i (que não é zero):
k times E = omega B

Resposta

Assim, demonstramos que k times E = omega B. Isso nos permite concluir que os vetores k, E e B são mutuamente perpendiculares. Ou seja, k está perpendicular a E, e E está perpendicular a B, formando um sistema ortogonal tridimensional.

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