As soluções da equação de onda eletromagnética podem se escrever
onde
é o vetor de onda. A partir da lei de Faraday, mostre que
. O que podemos concluir sobre as direções de
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta as soluções das equações de onda eletromagnética para os campos elétrico
e magnético
. O conteúdo principal aqui envolve Eletromagnetismo, especialmente a Lei de Faraday. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Faraday às equações de onda dadas e utilizar propriedades de produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday na forma diferencial. Essa lei nos diz que uma variação no campo magnético gera um campo elétrico. Matematicamente, é expressa como:
Aqui,
representa o rotacional do campo elétrico, e
é a derivada temporal do campo magnético.
Passo 3
Agora, vamos substituir as soluções das equações de onda fornecidas no enunciado nas expressões da Lei de Faraday. As soluções são:
Vamos calcular o rotacional de
:
Onde
é o vetor de onda.
E a derivada temporal de
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na Lei de Faraday:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por
(que não é zero):
Resposta
Assim, demonstramos que
. Isso nos permite concluir que os vetores
,
e
são mutuamente perpendiculares. Ou seja,
está perpendicular a
, e
está perpendicular a
, formando um sistema ortogonal tridimensional.