Considere o seguinte potencial:
em que
é uma constante que determina o alcance deste potencial. Calcule:
(a) O campo elétrico associado.
(a) O campo elétrico associado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um potencial elétrico
, onde
. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico associado a esse potencial. A matéria envolve eletrostática, especificamente a relação entre potencial elétrico e campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela equação:
Isso significa que para encontrar
, precisamos calcular o gradiente do potencial
e depois multiplicar por -1.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente em coordenadas esféricas, já que o potencial
depende apenas da distância
. Em coordenadas esféricas, o gradiente de uma função que depende apenas de
é:
Aqui,
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 4
Agora, vamos derivar o potencial
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar
.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Substituindo essa derivada de volta na expressão do gradiente:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a relação
:
Resposta
O campo elétrico associado é