Considere o seguinte potencial:
phi(r)=Q4 pi epsilon0 e^-mu rr
em que mu>0 é uma constante que determina o alcance deste potencial. Calcule:
(a) O campo elétrico associado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um potencial elétrico phi(r) = Q4 pi epsilon0 e^-mu rr, onde mu > 0. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico associado a esse potencial. A matéria envolve eletrostática, especificamente a relação entre potencial elétrico e campo elétrico. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E está relacionado ao potencial elétrico phi pela equação:
E = -nabla phi
Isso significa que para encontrar E, precisamos calcular o gradiente do potencial phi e depois multiplicar por -1.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente em coordenadas esféricas, já que o potencial phi depende apenas da distância r. Em coordenadas esféricas, o gradiente de uma função que depende apenas de r é:
nabla phi = dphidr r
Aqui, r é o vetor unitário na direção radial.

Passo 4

Agora, vamos derivar o potencial phi(r) em relação a r:
phi(r) = Q4 pi epsilon0 e^-mu rr
A derivada de phi(r) em relação a r é:
dphidr = Q4 pi epsilon0 ( ddr ( e^-mu rr ) )
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar e^-mu rr.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
ddr ( e^-mu rr ) = -mu e^-mu r cdot r - e^-mu r cdot 1 r^2 = -mu r e^-mu r - e^-mu r r^2 = -e^-mu r mu r + 1r^2

Passo 6

Substituindo essa derivada de volta na expressão do gradiente:
nabla phi = dphidr r = Q4 pi epsilon0 ( -e^-mu r mu r + 1r^2 ) r

Passo 7

Finalmente, aplicamos a relação E = -nabla phi:
E = -( Q4 pi epsilon0 ( -e^-mu r mu r + 1r^2 ) r ) = Q4 pi epsilon0 e^-mu r (mu r + 1)r^2 r

Resposta

O campo elétrico associado é
E = Q4 pi epsilon0 e^-mu r (mu r + 1)r^2 r

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phi(r)=Q4 pi epsilon0 e^-mu rr
em que mu>0 é uma constante que determina o alcance deste potencial. Calcule:
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Considere o seguinte potencial:
phi(r)=Q4 pi epsilon0 e^-mu rr
em que mu>0 é uma constante que determina o alcance deste potencial. Calcule:
(b) A densidade de carga.