Encontre o potencial fora de uma esfera condutora de raio a, carregada com carga Q e colocada em um campo originalmente uniforme, a saber
E0=E0 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o potencial elétrico fora de uma esfera condutora de raio , que está carregada com uma carga e colocada em um campo elétrico uniforme . Para isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, como potencial elétrico, condutores em campo elétrico e o princípio da superposição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico total nesse caso será a soma de dois potenciais:
  1. Potencial devido à carga VQ(r) = Q4pivarepsilon0 r da esfera: Como a esfera é condutora e carregada, o potencial fora dela devido à carga VE0(r, theta) = -E0 r costheta + a^3 E0r^2 costheta é igual ao de uma carga pontual no centro da esfera. Esse potencial é dado por:
    onde é a distância do centro da esfera.
  2. Potencial devido ao campo elétrico externo : O campo elétrico uniforme vai induzir cargas na superfície da esfera, modificando o potencial fora dela. Esse potencial pode ser representado por:
    Aqui, é o ângulo polar em coordenadas esféricas.

Passo 3

Agora, vamos entender de onde vem essa expressão para . O primeiro termo, , é o potencial de um campo elétrico uniforme, e o segundo termo, , é o potencial devido às cargas induzidas na superfície da esfera. A combinação desses termos garante que a condição de contorno na superfície da esfera (potencial constante) seja satisfeita.

Passo 4

Para obter o potencial total fora da esfera, somamos os dois potenciais que encontramos:
Vtotal(r, theta) = VQ(r) + VE0(r, theta) = Q4pivarepsilon0 r - E0 r costheta + a^3 E0r^2 costheta

Passo 5

Esse é o potencial total fora da esfera. Podemos reescrever de forma mais organizada:
V(r, theta) = Q4pivarepsilon0 r - E0 r costheta + a^3 E0r^2 costheta

Resposta

O potencial elétrico fora da esfera condutora é dado por
V(r, theta) = Q4pivarepsilon0 r - E0 r costheta + a^3 E0r^2 costheta

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