1. A soma de dois números não negativos é 100. Encontre seus valores se o produto deles mais o dobro do quadrado do primeiro deve ser um máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois números que somam 100 e pede para a gente encontrar quais são esses números de modo que o produto deles mais o dobro do quadrado do primeiro seja máximo. Então, vamos usar um pouco de álgebra e cálculo para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos definir os números. Vamos chamar o primeiro número de e o segundo de . Sabemos que:
Isso significa que podemos expressar em função de :

Passo 3

Agora, vamos montar a expressão que precisamos maximizar. O problema pede para maximizar o produto dos números mais o dobro do quadrado do primeiro. Ou seja:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão para facilitar a resolução:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de que maximiza , vamos usar cálculo. Precisamos encontrar a derivada de em relação a e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo para :
Mas espera aí! Temos uma contradição. O exercício pede números não negativos, e aqui vimos que , que é negativo. Isso significa que a função não tem um ponto de máximo dentro do intervalo permitido.

Passo 7

Então, o que fazemos? Nesse caso, precisamos avaliar os extremos do intervalo possível para , que são e .
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os números são e . Assim, o produto deles mais o dobro do quadrado do primeiro é máximo, igual a 20.000.

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