- A soma de dois números não negativos é 100. Encontre seus valores se o produto deles mais o dobro do quadrado do primeiro deve ser um máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois números que somam 100 e pede para a gente encontrar quais são esses números de modo que o produto deles mais o dobro do quadrado do primeiro seja máximo. Então, vamos usar um pouco de álgebra e cálculo para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos definir os números. Vamos chamar o primeiro número de
e o segundo de
. Sabemos que:
Isso significa que podemos expressar
em função de
:
Passo 3
Agora, vamos montar a expressão que precisamos maximizar. O problema pede para maximizar o produto dos números mais o dobro do quadrado do primeiro. Ou seja:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a resolução:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos usar cálculo. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo para
:
Mas espera aí! Temos uma contradição. O exercício pede números não negativos, e aqui vimos que
, que é negativo. Isso significa que a função não tem um ponto de máximo dentro do intervalo permitido.
Passo 7
Então, o que fazemos? Nesse caso, precisamos avaliar os extremos do intervalo possível para
, que são
e
.
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os números são
e
. Assim, o produto deles mais o dobro do quadrado do primeiro é máximo, igual a 20.000.