Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
cos(x) dy/dx + sen(x) y = sen(2x)
Res.: y = C cos(x) - 2 cos(x) ln(cos(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação das constantes. A equação que temos é:

Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar lembrar da solução da equação homogênea associada e depois aplicar o método da variação das constantes para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Dividindo tudo por cos(x), temos:

Isso fica na forma padrão de uma EDO linear:
onde e .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando :

Essa é uma equação separável. Podemos rearranjar para:
Integrando ambos os lados:

Elevando para o exponencial:
Essa é a solução geral da equação homogênea.

Passo 4

Agora, vamos buscar uma solução particular usando o método da variação das constantes. Assumimos que a constante C na solução homogênea não é mais constante, mas uma função de x, ou seja, C(x). Então, a solução particular será:

Precisamos encontrar C(x). Para isso, derivamos :

Passo 5

Substituímos e sua derivada na equação original:

Substituindo:
Simplificando:

Isso porque os termos com se cancelam.

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Sabemos que e , então:

Passo 7

Integramos para encontrar C(x):

Usando a identidade , temos:
Integrando termo a termo:

Mas podemos simplificar considerando constantes de integração dentro da solução geral.

Passo 8

Assim, a solução particular é:

E a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Simplificando, obtemos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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