Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação das constantes. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar lembrar da solução da equação homogênea associada e depois aplicar o método da variação das constantes para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Dividindo tudo por
, temos:
Isso fica na forma padrão de uma EDO linear:
onde
e .
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando
:
Essa é uma equação separável. Podemos rearranjar para:
Integrando ambos os lados:
Elevando para o exponencial:
Essa é a solução geral da equação homogênea.
Passo 4
Agora, vamos buscar uma solução particular usando o método da variação das constantes. Assumimos que a constante
na solução homogênea não é mais constante, mas uma função de
, ou seja,
. Então, a solução particular será:
Precisamos encontrar
Passo 5
Substituímos
e sua derivada na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Isso porque os termos com
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Sabemos que e , então:
Passo 7
Integramos
para encontrar
:
Usando a identidade , temos:
Integrando termo a termo:
Mas podemos simplificar considerando constantes de integração dentro da solução geral.
Passo 8
Assim, a solução particular é:
E a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Simplificando, obtemos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: