UFCG - CFP - UACEN
Curso de Licenciatura em Química
Problemas de otimização
ponto
- Um fazendeiro quer cercar uma parte retangular de um grande pasto de forma que 1.000
sejam cercados com a menor quantidade possível de cerca. Encontre as dimensões do retângulo que ele deve escolher. A área é dada por
mas
é fixa em
, de modo que
.
Curso de Licenciatura em Química
Problemas de otimização
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema é sobre otimização: um fazendeiro quer cercar uma área retangular de 1.000 km² e quer usar a menor quantidade possível de cerca. Isso significa que precisamos encontrar as dimensões do retângulo (comprimento e largura) que minimizam o perímetro, mantendo a área fixa em 1.000 km². Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra básica e cálculo de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um retângulo é dada por:
Onde
é o comprimento e
é a largura. Sabemos que
km², então podemos expressar
em função de
:
Passo 3
Agora, precisamos expressar o perímetro
do retângulo, que é a quantidade de cerca necessária. A fórmula do perímetro é:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 4
Para minimizar o perímetro, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso nos ajuda a encontrar o valor de
que minimiza
.
A derivada de
em relação a
é:
Igualando a derivada a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar
usando a relação
:
Resposta
As dimensões do retângulo que minimizam a quantidade de cerca são aproximadamente
km de comprimento e
km de largura.