UFCG - CFP - UACEN
Curso de Licenciatura em Química
Problemas de otimização -1,0 ponto
  1. Um fazendeiro quer cercar uma parte retangular de um grande pasto de forma que 1.000 km^2 sejam cercados com a menor quantidade possível de cerca. Encontre as dimensões do retângulo que ele deve escolher. A área é dada por
A = x y
mas A é fixa em 1.000 km^2, de modo que y = A/x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema é sobre otimização: um fazendeiro quer cercar uma área retangular de 1.000 km² e quer usar a menor quantidade possível de cerca. Isso significa que precisamos encontrar as dimensões do retângulo (comprimento e largura) que minimizam o perímetro, mantendo a área fixa em 1.000 km². Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra básica e cálculo de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um retângulo é dada por:
Onde é o comprimento e é a largura. Sabemos que km², então podemos expressar em função de :

Passo 3

Agora, precisamos expressar o perímetro do retângulo, que é a quantidade de cerca necessária. A fórmula do perímetro é:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 4

Para minimizar o perímetro, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero. Isso nos ajuda a encontrar o valor de que minimiza .
A derivada de em relação a é:
Igualando a derivada a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação para :

Passo 6

Agora que temos o valor de , podemos encontrar usando a relação :

Resposta

As dimensões do retângulo que minimizam a quantidade de cerca são aproximadamente km de comprimento e km de largura.

Exercícios relacionados