Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
d y/d x + y = (x^2 + x) e^(-x)
Res.: y = (x^3/3 + x^2/2 + C) e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear do tipo . O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método da variação dos parâmetros. Para isso, a gente vai precisar entender como resolver EDOs lineares de primeira ordem e aplicar o método mencionado.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Resolver a equação homogênea nos dá a solução complementar, que é parte da solução geral.

Passo 3

A equação homogênea é uma equação linear de primeira ordem. A gente pode resolver isso separando as variáveis. Vamos reescrever:
Dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Então, a solução complementar é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da variação das constantes arbitrárias. A ideia aqui é assumir que a constante da solução complementar não é constante, mas sim uma função de , digamos . Então, a solução particular vai ter a forma:

Passo 5

Para encontrar , precisamos derivar em relação a :

Passo 6

Substituímos e na equação original :
Simplificando os termos:

Passo 7

Agora, podemos dividir ambos os lados por (que não é zero):
Integrando ambos os lados para encontrar :
Onde é a constante de integração, mas como já temos a constante na solução geral, podemos omitir .

Passo 8

Então, substituindo de volta na solução particular:

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma da solução complementar e da solução particular:
Podemos fatorar :

Resposta

A solução geral da EDO é

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