Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear do tipo
. O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método da variação dos parâmetros. Para isso, a gente vai precisar entender como resolver EDOs lineares de primeira ordem e aplicar o método mencionado.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Resolver a equação homogênea nos dá a solução complementar, que é parte da solução geral.
Passo 3
A equação homogênea
é uma equação linear de primeira ordem. A gente pode resolver isso separando as variáveis. Vamos reescrever:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Então, a solução complementar é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da variação das constantes arbitrárias. A ideia aqui é assumir que a constante
da solução complementar não é constante, mas sim uma função de
, digamos
. Então, a solução particular vai ter a forma:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Substituímos
e
na equação original
:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, podemos dividir ambos os lados por
(que não é zero):
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração, mas como já temos a constante
na solução geral, podemos omitir
.
Passo 8
Então, substituindo
de volta na solução particular:
Passo 9
A solução geral da EDO é a soma da solução complementar e da solução particular:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução geral da EDO é