A soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz transposta da matriz A(2x2) = |aij = i² + 1 se i = j ||aij = 2i + j se i ≠ j |é :
a)17
b)15
c)16
d)12
e)18
a)17
b)15
c)16
d)12
e)18
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre matrizes, especificamente uma matriz $ A $ de ordem $ 2 \times 2 $. Nosso objetivo é encontrar a soma dos elementos da diagonal principal com os da diagonal secundária da matriz transposta de $ A $. Para isso, vamos precisar saber o que são matriz, transposta, diagonais principal e secundária.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz $ A $ usando a regra dada:
- Se $ i = j $, então $ a_{ij} = i^2 + 1 $
- Se $ i \neq j $, então $ a_{ij} = 2i + j $
Como $ A $ é uma matriz $ 2 \times 2 $, temos:
Vamos calcular cada elemento:
- $ a_{11} $: Como $ i = j = 1 $,
- $ a_{12} $: Aqui $ i = 1 $ e $ j = 2 $, então $ i \neq j $,
- $ a_{21} $: Aqui $ i = 2 $ e $ j = 1 $, então $ i \neq j $,
- $ a_{22} $: Como $ i = j = 2 $,
Então, a matriz $ A $ fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transposta de $ A $, que é basicamente trocar as linhas pelas colunas. A transposta de uma matriz $ A $, denotada por $ A^T $, é:
Aplicando isso na matriz que encontramos:
Passo 4
Agora, vamos identificar as diagonais da matriz transposta $ A^T $:
- Diagonal principal: São os elementos que vão do canto superior esquerdo ao inferior direito. No nosso caso:
- Diagonal secundária: São os elementos que vão do canto superior direito ao inferior esquerdo. No nosso caso:
Passo 5
Finalmente, vamos somar os elementos das duas diagonais:
Resposta
A soma é 16. A alternativa correta é a c) 16.