Uma sopa de pellets esféricos de radio R estão sendo secos em uma corrente de ar. Assume que a umidade do ar é constante e corresponde a uma concentração superficial de água na sopa de . Se a concentração inicial de agua na sopa é , escreva a equação diferencial e as condições de contorno necessárias requeridas para descrever a concentração local da água em função do raio r e do tempo t. Assumir que não há resistência para transferência de massa a partir da interface dentro do ar, e que o coeficiente de difusão para água dentro dos pellets da sopa é constante. R. ; (simetria).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sopa de pellets esféricos com raio que estão sendo secos em uma corrente de ar. Queremos encontrar como a concentração de água dentro desses pellets varia em função do raio e do tempo . Para isso, vamos precisar usar o conceito de difusão de massa dentro de coordenadas esféricas e equações diferenciais parciais. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa difusão de massa. Difusão é o processo pelo qual as moléculas se movimentam de regiões de alta concentração para regiões de baixa concentração. No nosso caso, a água na sopa vai se difundir para o ar.
Como estamos lidando com esferas, é melhor usar coordenadas esféricas para descrever a difusão. A equação geral de difusão em coordenadas esféricas para uma quantidade (concentração de água) é dada por:
Aqui, é o coeficiente de difusão da água dentro dos pellets.
Passo 3
Agora, vamos definir as condições de contorno, que são essenciais para resolver a equação diferencial. As condições de contorno são:
Condição Inicial: No tempo , a concentração de água é uniforme em todo o pellet. Isso significa que:
Condição na Superfície: Na superfície do pellet (), a concentração de água é igual à concentração no ar, que é constante:
Condição de Simetria: No centro do pellet (), a derivada da concentração em relação ao raio é zero, pois não há variação de concentração nesse ponto:
Passo 4
Com a equação de difusão e as condições de contorno estabelecidas, podemos escrever a equação diferencial completa que descreve a concentração de água partial CApartial t = DABr^2 partialpartial r ( r^2 partial CApartial r ) em função de e :
Resposta
A equação diferencial que descreve a concentração local de água partial CApartial t = DABr^2 partialpartial r ( r^2 partial CApartial r ) em função do raio CA(r, 0) = CA0 para r < R e do tempo CA(R, t) = CA1 é:
partial CApartial r |r=0 = 0
As condições de contorno necessárias são:
Condição Inicial:
Condição na Superfície:
Condição de Simetria no Centro:
Essas equações e condições descrevem como a concentração de água varia dentro dos pellets ao longo do tempo durante o processo de secagem.