Usar a equação diferencial geral de transferência de massa para descrever a equação diferencial específica que descreverá o perfil de concentração para um microorganismo se o mesmo é inicialmente colocado num fluido estagnado ou gel e, quando ele se difunde tem uma divisão celular que segue uma equação de reação de primeira ordem, A 2 A. Dar as duas condições de contorno que poderiam ser usadas para resolver a equação diferencial. R. d CAd t=DA B[1r^2 cdot dd r(r^2 cdot d CAd r)]+K CA t=0 ; CA=CA 0 p / r =0 (simetria).

Passo 1

Beleza, então vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre um micro-organismo que foi colocado num fluido parado ou em um gel. Esse micro-organismo está se espalhando por difusão e, além disso, está se dividindo segundo uma reação de primeira ordem, que é representada por A 2,A. A gente precisa usar a equação geral de transferência de massa para montar uma equação diferencial que descreva como a concentração desse micro-organismo varia no espaço e no tempo. Também precisamos definir duas condições de contorno para resolver essa equação. Para isso, vamos precisar entender conceitos de difusão, equações diferenciais e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas para um processo estacionário (ou seja, sem variação no tempo inicialmente). A equação é:
partial CApartial t = DAB [ 1r^2 partialpartial r ( r^2 partial CApartial r ) ] + Termos de reação çã
Aqui, CA é a concentração do micro-organismo, DAB é o coeficiente de difusão, e r é a distância radial.

Passo 3

Agora, vamos incluir o termo de reação na equação. Como a divisão celular segue uma reação de primeira ordem ( A 2,A), o termo de reação será proporcional à concentração de A. Então, adicionamos K CA, onde K é a constante de taxa da reação. Assim, a equação fica:
partial CApartial t = DAB [ 1r^2 partialpartial r ( r^2 partial CApartial r ) ] + K CA

Passo 4

Agora, precisamos definir as condições de contorno para resolver essa equação diferencial. As condições de contorno são essenciais porque elas nos dizem como a concentração se comporta nos limites do nosso domínio.

Passo 5

A primeira condição de contorno é a condição inicial, ou seja, a concentração do micro-organismo no tempo inicial ( t = 0). De acordo com o problema, inicialmente o micro-organismo está concentrado dentro de um raio R. Portanto, temos:
CA = CA0 para r < R
Aqui, CA0 é a concentração inicial do micro-organismo.

Passo 6

A segunda condição de contorno está relacionada ao comportamento da concentração quando a distância radial tende ao infinito ( r infty). Faz sentido que, longe do ponto onde o micro-organismo foi colocado, a concentração dele seja zero. Então, temos:
CA = 0 para r = infty

Passo 7

Além dessas duas condições, também precisamos considerar uma condição de simetria no centro da distribuição ( r = 0). No centro, a derivada da concentração em relação a r deve ser zero porque não há fluxos de massa entrando ou saindo do ponto central. Portanto:
dCAdr = 0 para r = 0

Resposta

A equação diferencial que descreve o perfil de concentração do micro-organismo é:
partial CApartial t = DAB [ 1r^2 partialpartial r ( r^2 partial CApartial r ) ] + K CA
As duas condições de contorno que podem ser usadas para resolver essa equação são:
  1. Condição inicial:
    CA = CA0 para r < R
  2. Condição no infinito:
    CA = 0 para r = infty
E, além disso, a condição de simetria no centro:
dCAdr = 0 para r = 0

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