Usar a equação diferencial geral de transferência de massa para descrever a equação diferencial específica que descreverá o perfil de concentração para um microorganismo se o mesmo é inicialmente colocado num fluido estagnado ou gel e, quando ele se difunde tem uma divisão celular que segue uma equação de reação de primeira ordem,
. Dar as duas condições de contorno que poderiam ser usadas para resolver a equação diferencial. R.
(simetria).
Passo 1
Beleza, então vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre um micro-organismo que foi colocado num fluido parado ou em um gel. Esse micro-organismo está se espalhando por difusão e, além disso, está se dividindo segundo uma reação de primeira ordem, que é representada por
. A gente precisa usar a equação geral de transferência de massa para montar uma equação diferencial que descreva como a concentração desse micro-organismo varia no espaço e no tempo. Também precisamos definir duas condições de contorno para resolver essa equação. Para isso, vamos precisar entender conceitos de difusão, equações diferenciais e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas para um processo estacionário (ou seja, sem variação no tempo inicialmente). A equação é:
Aqui,
é a concentração do micro-organismo,
é o coeficiente de difusão, e
é a distância radial.
Passo 3
Agora, vamos incluir o termo de reação na equação. Como a divisão celular segue uma reação de primeira ordem (
), o termo de reação será proporcional à concentração de
. Então, adicionamos
, onde
é a constante de taxa da reação. Assim, a equação fica:
Passo 4
Agora, precisamos definir as condições de contorno para resolver essa equação diferencial. As condições de contorno são essenciais porque elas nos dizem como a concentração se comporta nos limites do nosso domínio.
Passo 5
A primeira condição de contorno é a condição inicial, ou seja, a concentração do micro-organismo no tempo inicial (
). De acordo com o problema, inicialmente o micro-organismo está concentrado dentro de um raio
. Portanto, temos:
Aqui,
é a concentração inicial do micro-organismo.
Passo 6
A segunda condição de contorno está relacionada ao comportamento da concentração quando a distância radial tende ao infinito (
). Faz sentido que, longe do ponto onde o micro-organismo foi colocado, a concentração dele seja zero. Então, temos:
Passo 7
Além dessas duas condições, também precisamos considerar uma condição de simetria no centro da distribuição (
). No centro, a derivada da concentração em relação a
deve ser zero porque não há fluxos de massa entrando ou saindo do ponto central. Portanto:
Resposta
A equação diferencial que descreve o perfil de concentração do micro-organismo é:
As duas condições de contorno que podem ser usadas para resolver essa equação são:
-
Condição inicial:
-
Condição no infinito:
E, além disso, a condição de simetria no centro: