Para os subespaços vetoriais
, determine uma base para
no produto interno indicado:
gerado pelo vetor
, no produto interno
do
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma resumida no que o exercício tá pedindo. A gente tem um subespaço
de
gerado pelo vetor
e um produto interno específico:
. Nosso objetivo é encontrar uma base para o complemento ortogonal de
, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto inclui todos os vetores em
que são “perpendiculares” a todos os vetores em
usando o produto interno dado. Como
é gerado por
, basta encontrar os vetores que são ortogonais a esse vetor específico.
Passo 3
Vamos chamar o vetor genérico de
de
. Para que
esteja em
, precisa satisfazer
. Vamos calcular isso usando o produto interno fornecido.
Passo 4
Substituindo os valores no produto interno:
Então, temos que
para que o produto seja zero.
Passo 5
Com
, qualquer vetor em
vai ter a forma
, onde
pode ser qualquer número real. Isso significa que
é o conjunto de todos os vetores da forma
.
Resposta
Uma base para
é o conjunto
.