Para os subespaços vetoriais W subset V, determine uma base para W^perp no produto interno indicado: W subset R^2 gerado pelo vetor (1,-1), no produto interno lang<=(a, b),(c, d)rang<==2 a c+a d+b c+b d do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que o exercício tá pedindo. A gente tem um subespaço de gerado pelo vetor e um produto interno específico: . Nosso objetivo é encontrar uma base para o complemento ortogonal de , que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto inclui todos os vetores em que são “perpendiculares” a todos os vetores em usando o produto interno dado. Como é gerado por , basta encontrar os vetores que são ortogonais a esse vetor específico.

Passo 3

Vamos chamar o vetor genérico de de . Para que esteja em , precisa satisfazer . Vamos calcular isso usando o produto interno fornecido.

Passo 4

Substituindo os valores no produto interno:
lang<= (x, y), (1, -1) rang<= = 2x(1) + x(-1) + y(1) + y(-1) = 2x - x + y - y = x
Então, temos que para que o produto seja zero.

Passo 5

Com , qualquer vetor em vai ter a forma , onde pode ser qualquer número real. Isso significa que é o conjunto de todos os vetores da forma .

Resposta

Uma base para é o conjunto .

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