Seja
o subespaço de todos os polinômios de grau no máximo 1. Determine uma base para
, com relação ao produto interno dado na Questão 3.
Passo 1
Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço
que contém todos os polinômios de grau no máximo 1, ou seja, polinômios da forma
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de espaços vetoriais e ortogonalidade com respeito a um produto interno. Para resolver, vamos precisar entender o que é o complemento ortogonal
e como encontrar uma base para ele utilizando o produto interno dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o complemento ortogonal
. Esse conjunto consiste em todos os vetores (neste caso, polinômios) que são ortogonais a todos os vetores em
. Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios
em
tais que o produto interno de
com qualquer polinômio em
seja zero.
Passo 3
Assumindo que o produto interno usado é o produto interno padrão para polinômios, que para dois polinômios
e
é definido como:
Vamos considerar que
é gerado pelos polinômios
e
. Portanto, precisamos que
seja ortogonal a ambos
e
.
Passo 4
Vamos representar
como
. Para
estar em
, deve satisfazer:
Calculando cada produto interno:
Portanto, as condições para
pertencer a
são
e
.
Passo 5
Com
e
, o polinômio
fica:
Isso significa que qualquer polinômio em
é um múltiplo de
.
Passo 6
Para encontrar uma base para
, precisamos de um conjunto de polinômios que seja linearmente independente e que gere todo o espaço
. Como todos os polinômios em
são múltiplos de
, uma base adequada é simplesmente o conjunto contendo
.
Resposta
Uma base para
é
.