Seja W subset P2(R) o subespaço de todos os polinômios de grau no máximo 1. Determine uma base para W^perp, com relação ao produto interno dado na Questão 3.

Passo 1

Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço que contém todos os polinômios de grau no máximo 1, ou seja, polinômios da forma . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de espaços vetoriais e ortogonalidade com respeito a um produto interno. Para resolver, vamos precisar entender o que é o complemento ortogonal e como encontrar uma base para ele utilizando o produto interno dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o complemento ortogonal . Esse conjunto consiste em todos os vetores (neste caso, polinômios) que são ortogonais a todos os vetores em . Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios em tais que o produto interno de com qualquer polinômio em seja zero.

Passo 3

Assumindo que o produto interno usado é o produto interno padrão para polinômios, que para dois polinômios lang<= p, q rang<= = ad + be + cf e é definido como:
Vamos considerar que é gerado pelos polinômios e . Portanto, precisamos que seja ortogonal a ambos e .

Passo 4

Vamos representar lang<= q, 1 rang<= = 0 e lang<= q, x rang<= = 0 como lang<= q, 1 rang<= = d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 0 = d = 0 . Para lang<= q, x rang<= = d cdot 0 + e cdot 1 + f cdot 0 = e = 0 estar em , deve satisfazer:
Calculando cada produto interno:
Portanto, as condições para pertencer a são e .

Passo 5

Com q(x) = 0 + 0x + fx^2 = fx^2 e , o polinômio fica:
Isso significa que qualquer polinômio em é um múltiplo de .

Passo 6

Para encontrar uma base para , precisamos de um conjunto de polinômios que seja linearmente independente e que gere todo o espaço . Como todos os polinômios em são múltiplos de , uma base adequada é simplesmente o conjunto contendo .

Resposta

Uma base para é .

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