Um submarino deve ser projetado para proporcionar uma temperatura agradável à tripulação não inferior a 20^circ C. O submarino pode ser idealizado como um cilindro de 10 m de diâmetro e 70 m de comprimento. O coeficiente de película interno é cerca de 12 kcal / h m 2 ^circ C, enquanto que, no exterior, estima-se que varie entre 70 kcal / h m 2 ^circ C (submarino parado) e 600 kcal / h m 2 ^circ C (velocidade máxima). A construção das paredes do submarino é do tipo sanduíche com uma camada externa de 19 mm de aço inoxidável ( k=14 Kcal / h m ^circ C ), uma camada de 25 mm de fibra de vidro ( k=0,034 Kcal / h m ^circ C ) e uma camada de 6 mm de alumínio ( k=175 Kcal / h m ^circ C ) no interior. Determine a potência necessária ( em kW ) da unidade de aquecimento requerida se a temperatura da água do mar varia entre 7 ^circ C e 12 ^circ C. DADO : 1 KW=860 Kcal / h

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse problema! A questão fala sobre transferência de calor em um submarino. Precisamos descobrir qual a potência que o sistema de aquecimento precisa ter para manter a temperatura interna do submarino em pelo menos 20^circ C. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e levar em conta as diferentes camadas que formam as paredes do submarino, além das condições externas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as características do submarino:
  • Dimensões: Cilindro com 10 m de diâmetro e 70 m de comprimento.
  • Camadas das paredes:
    1. Aço inoxidável: 19 mm de espessura, condutividade térmica k1 = 14 , Kcal/(h cdot m cdot ^circ C).
    2. Fibra de vidro: 25 mm de espessura, condutividade térmica k2 = 0,034 , Kcal/(h cdot m cdot ^circ C).
    3. Alumínio: 6 mm de espessura, condutividade térmica k3 = 175 , Kcal/(h cdot m cdot ^circ C).
Além disso, temos os coeficientes de película térmica:
  • Interna: hinterna = 12 , Kcal/(h cdot m^2 cdot ^circ C).
  • Externa: Varia entre hexterna = 70 e 600 , Kcal/(h cdot m^2 cdot ^circ C).
Vamos focar no valor menor do coeficiente externo para garantir a segurança térmica.

Passo 3

Primeiro, calculamos a área superficial das paredes do submarino, que é a área por onde o calor será transferido. Como o submarino é um cilindro, a área pode ser calculada por:
A = 2 pi r h
Onde:
  • r é o raio ( 10 , m2 = 5 , m),
  • h é o comprimento ( 70 , m).

Passo 4

Calculando a área:
A = 2 pi times 5 , m times 70 , m = 2200 , m^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a resistência térmica de cada camada da parede. A resistência térmica para condução é dada por:
Rcond = Lk cdot A
Onde:
  • L é a espessura da camada,
  • k é a condutividade térmica,
  • A é a área calculada.
Calculando para cada material:
  1. Aço inoxidável:
    R1 = 0,019 , m14 , Kcal/(h cdot m cdot ^circ C) times 2200 , m^2 approx 6,17 times 10^-7 , h cdot ^circ CKcal
  2. Fibra de vidro:
    R2 = 0,025 , m0,034 , Kcal/(h cdot m cdot ^circ C) times 2200 , m^2 approx 0,000334 , h cdot ^circ CKcal
  3. Alumínio:
    R3 = 0,006 , m175 , Kcal/(h cdot m cdot ^circ C) times 2200 , m^2 approx 1,56 times 10^-8 , h cdot ^circ CKcal

Passo 6

A resistência térmica total das paredes é a soma das resistências individuais:
Rparedes = R1 + R2 + R3 approx 6,17 times 10^-7 + 0,000334 + 1,56 times 10^-8 approx 0,0003346 , h cdot ^circ CKcal

Passo 7

Agora, calculamos as resistências térmicas das películas interna e externa. A resistência térmica da película é:
Rpelícula = 1h cdot A í
Calculando para cada película:
  1. Interna:
    Rinterna = 112 , Kcal/(h cdot m^2 cdot ^circ C) times 2200 , m^2 approx 3,79 times 10^-5 , h cdot ^circ CKcal
  2. Externa (usando o menor coeficiente):
    Rexterna = 170 , Kcal/(h cdot m^2 cdot ^circ C) times 2200 , m^2 approx 6,49 times 10^-6 , h cdot ^circ CKcal

Passo 8

A resistência térmica total do sistema é a soma das resistências das películas e das paredes:
Rtotal = Rinterna + Rparedes + Rexterna approx 3,79 times 10^-5 + 0,0003346 + 6,49 times 10^-6 approx 0,0004175 , h cdot ^circ CKcal

Passo 9

Agora, vamos calcular a transferência de calor ( Q) necessária usando a diferença de temperatura ( De):
Q = De
Considerando a menor diferença de temperatura para garantir a segurança:
De
Portanto:
Q = 80,0004175 approx 19,168 , Kcal/h

Passo 10

Por fim, convertemos a potência de Kcal/h para kW usando a relação dada:
P = 19,168 , Kcal/h860 , Kcal/h cdot kW^-1 approx 22,3 , kW

Resposta

A potência necessária da unidade de aquecimento é aproximadamente 22,3 kW.

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