Um forno retangular de uma fábrica de cerâmica está isolado com duas camadas, sendo à primeira, que está em contato com a carga do forno, de refratário especial ( k=0,6 kcal / h m ^circ C ) e a outra de um bom isolante ( k=0,09 kcal / h m ^circ C ). Sabe-se que a temperatura da face interna do forno é 900^circ C e que à temperatura do ar ambiente é 20^circ C(h=20 kcal / hm^circ C). O fluxo de calor através da parede do forno, de 40 cm de espessura, é igual a 800 kcal / h m. Pede-se :
a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno
b) A temperatura da interface das camadas r
c) Se for especificada uma temperatura máxima de 30 ॰C na parede externa do forno, qual a nova espessura isolante necessária?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um forno retangular usado na fabricação de cerâmica, que tem uma parede isolada por duas camadas diferentes. A primeira camada é de um material refratário especial com condutividade térmica $ \mathrm{k}_1 = 0,6 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \cdot \mathrm{m} \cdot ^\circ \mathrm{C}} $ e a segunda é de um bom isolante com condutividade térmica $ \mathrm{k}_2 = 0,09 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \cdot \mathrm{m} \cdot ^\circ \mathrm{C}} $. A temperatura dentro do forno é $ 900^\circ \mathrm{C} $ e a temperatura externa é $ 20^\circ \mathrm{C} $. A parede total tem 40 cm de espessura e o fluxo de calor passando por ela é de $ 800 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \cdot \mathrm{m}} $. Vamos precisar usar a fórmula do fluxo de calor para condução em camadas compostas e entender como calcular resistências térmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): A espessura de cada camada que forma a parede do forno.
A gente sabe que o fluxo de calor $ Q $ através das camadas é constante e dado por:
Q
onde $ R_{total} $ é a resistência térmica total das duas camadas.
A resistência térmica de cada camada é:
Q = De
onde $ d $ é a espessura da camada e $ k $ é a condutividade térmica.
Como temos duas camadas em série, a resistência total é a soma das resistências individuais:
Rtotal
Sabemos que a espessura total das camadas é 40 cm, então:
R = dk
E o fluxo de calor é:
d
k
Como $ d_2 = 0,4 - d_1 $, podemos substituir e resolver para $ d_1 $.

Passo 3

Vamos simplificar a equação para encontrar $ d_1 $:
d1
Invertendo ambos os lados:
800 = 880d10,6 + 0,4 - d10,09
Multiplicando todos os termos por 0,6 * 0,09 = 0,054 para eliminar os denominadores:
d10,6 + 0,4 - d10,09 = 880800 = 1,1
0,09 cdot d1 + 0,6 cdot (0,4 - d1) = 1,1 cdot 0,054
0,09d1 + 0,24 - 0,6d1 = 0,0594
-0,51d1 + 0,24 = 0,0594
-0,51d1 = -0,1806
Então, $ d_1 \approx 0,354 , m $ (35,4 cm) é a espessura da primeira camada.
E a segunda camada:
d1 = 0,18060,51 approx 0,354 , m

Passo 4

Agora, vamos para a parte b): A temperatura da interface das camadas $ r $.
Sabemos que a temperatura na interface será menor que a temperatura interna do forno e maior que a externa. Para encontrar essa temperatura $ T_r $, usamos que o fluxo de calor $ Q $ através de cada camada é o mesmo e:
r
Tr
Calculando $ R_1 $:
Q
Agora, isolando $ T_r $:
Q = Tinterno - TrR1
800 = 900 - Tr0,3540,6
Então, a temperatura na interface é $ 428^\circ \mathrm{C} $.

Passo 5

Por último, vamos resolver a parte c): Se for especificada uma temperatura máxima de $ 30^\circ \mathrm{C} $ na parede externa do forno, qual a nova espessura isolante necessária?
Agora, queremos que a temperatura externa seja no máximo $ 30^\circ \mathrm{C} $, em vez de $ 20^\circ \mathrm{C} $. Vamos manter a primeira camada com $ d_1 = 0,354 , m $ e encontrar a nova espessura $ d_2’ $ da segunda camada.
Usamos a mesma fórmula do fluxo de calor:
30^circ C
Agora, $ \Delta T = 900 - 30 = 870^\circ \mathrm{C} $, e queremos manter $ Q = 800 $.
Então:
30^circ C
Calculando $ \frac{0,354}{0,6} = 0,59 $.
Então:
20^circ C
d1 = 0,354 , m
d2'
Q = De
Então, a nova espessura isolante necessária é de aproximadamente $ 4,48 , cm $.

Resposta

a) A espessura da primeira camada é de aproximadamente 35,4 cm e da segunda camada é de aproximadamente 4,6 cm.
b) A temperatura na interface das camadas é de 428°C.
c) Para que a temperatura externa seja no máximo 30°C, a nova espessura da camada isolante deve ser de aproximadamente 4,48 cm.

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