Um forno retangular de uma fábrica de cerâmica está isolado com duas camadas, sendo à primeira, que está em contato com a carga do forno, de refratário especial (
) e a outra de um bom isolante (
). Sabe-se que a temperatura da face interna do forno é
e que à temperatura do ar ambiente é
. O fluxo de calor através da parede do forno, de 40 cm de espessura, é igual a
. Pede-se :
a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno
b) A temperatura da interface das camadas
c) Se for especificada uma temperatura máxima de 30 ॰C na parede externa do forno, qual a nova espessura isolante necessária?
a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno
b) A temperatura da interface das camadas
c) Se for especificada uma temperatura máxima de 30 ॰C na parede externa do forno, qual a nova espessura isolante necessária?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um forno retangular usado na fabricação de cerâmica, que tem uma parede isolada por duas camadas diferentes. A primeira camada é de um material refratário especial com condutividade térmica $ \mathrm{k}_1 = 0,6 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \cdot \mathrm{m} \cdot ^\circ \mathrm{C}} $ e a segunda é de um bom isolante com condutividade térmica $ \mathrm{k}_2 = 0,09 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \cdot \mathrm{m} \cdot ^\circ \mathrm{C}} $. A temperatura dentro do forno é $ 900^\circ \mathrm{C} $ e a temperatura externa é $ 20^\circ \mathrm{C} $. A parede total tem 40 cm de espessura e o fluxo de calor passando por ela é de $ 800 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \cdot \mathrm{m}} $. Vamos precisar usar a fórmula do fluxo de calor para condução em camadas compostas e entender como calcular resistências térmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): A espessura de cada camada que forma a parede do forno.
A gente sabe que o fluxo de calor $ Q $ através das camadas é constante e dado por:
onde $ R_{total} $ é a resistência térmica total das duas camadas.
A resistência térmica de cada camada é:
onde $ d $ é a espessura da camada e $ k $ é a condutividade térmica.
Como temos duas camadas em série, a resistência total é a soma das resistências individuais:
Sabemos que a espessura total das camadas é 40 cm, então:
E o fluxo de calor é:
Como $ d_2 = 0,4 - d_1 $, podemos substituir e resolver para $ d_1 $.
Passo 3
Vamos simplificar a equação para encontrar $ d_1 $:
Invertendo ambos os lados:
Multiplicando todos os termos por 0,6 * 0,09 = 0,054 para eliminar os denominadores:
Então, $ d_1 \approx 0,354 , m $ (35,4 cm) é a espessura da primeira camada.
E a segunda camada:
Passo 4
Agora, vamos para a parte b): A temperatura da interface das camadas $ r $.
Sabemos que a temperatura na interface será menor que a temperatura interna do forno e maior que a externa. Para encontrar essa temperatura $ T_r $, usamos que o fluxo de calor $ Q $ através de cada camada é o mesmo e:
Calculando $ R_1 $:
Agora, isolando $ T_r $:
Então, a temperatura na interface é $ 428^\circ \mathrm{C} $.
Passo 5
Por último, vamos resolver a parte c): Se for especificada uma temperatura máxima de $ 30^\circ \mathrm{C} $ na parede externa do forno, qual a nova espessura isolante necessária?
Agora, queremos que a temperatura externa seja no máximo $ 30^\circ \mathrm{C} $, em vez de $ 20^\circ \mathrm{C} $. Vamos manter a primeira camada com $ d_1 = 0,354 , m $ e encontrar a nova espessura $ d_2’ $ da segunda camada.
Usamos a mesma fórmula do fluxo de calor:
Agora, $ \Delta T = 900 - 30 = 870^\circ \mathrm{C} $, e queremos manter $ Q = 800 $.
Então:
Calculando $ \frac{0,354}{0,6} = 0,59 $.
Então:
Então, a nova espessura isolante necessária é de aproximadamente $ 4,48 , cm $.
Resposta
a) A espessura da primeira camada é de aproximadamente 35,4 cm e da segunda camada é de aproximadamente 4,6 cm.
b) A temperatura na interface das camadas é de 428°C.
c) Para que a temperatura externa seja no máximo 30°C, a nova espessura da camada isolante deve ser de aproximadamente 4,48 cm.