Um cabo elétrico de 10 mm de diâmetro tem resistência elétrica por unidade de comprimento de
. e é revestido por uma camada de material plástico de 1 mm de espessura e condutividade térmica
.K. O cabo vai ser utilizado em uma ambiente cujo ar está na temperatura de
, com coeficiente de película de
.K. Se o plástico usado suporta no máximo
sem se derreter, determine a máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um cabo elétrico de 10 mm de diâmetro com uma resistência por metro de
. Esse cabo está revestido por uma camada de plástico de 1 mm de espessura, que tem uma condutividade térmica de
. O ambiente onde o cabo será usado está a uma temperatura de
, e o coeficiente de película (que mede a eficiência da transferência de calor por convecção) é
. O plástico não pode aquecer mais do que
sem derreter. Precisamos descobrir qual é a máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo sem que o plástico derreta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, condução térmica e convecção. Vamos calcular o equilíbrio térmico onde o calor gerado pela passagem da corrente é igual ao calor dissipado pelo cabo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área superficial do cabo que está em contato com o plástico. O cabo tem um diâmetro de 10 mm, então o raio $ r $ é de 5 mm ou 0,005 m. A área superficial por metro de comprimento é dada por:
Passo 3
Agora, vamos considerar a geração de calor devido à resistência elétrica do cabo. A potência gerada pelo efeito Joule é dada por:
Onde $ I $ é a corrente elétrica e $ R $ é a resistência.
Como a resistência por metro é
, para um metro de cabo temos:
Então:
Passo 4
Em equilíbrio térmico, o calor gerado pela corrente deve ser igual ao calor dissipado. O calor dissipa de duas formas: condução através do plástico e convecção para o ambiente.
Primeiro, vamos calcular o calor dissipada por condução. A fórmula da condução térmica é:
Onde:
- $ k = 0,20,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot K) $ é a condutividade térmica do plástico,
- $ A = 0,0314,\mathrm{m}^2/\mathrm{m} $ é a área superficial,
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
- $ d = 0,001,\mathrm{m} $ é a espessura do plástico (1 mm).
Passo 5
A diferença de temperatura $ \Delta T $ é a diferença entre a temperatura máxima que o plástico suporta e a temperatura ambiente:
Substituindo os valores na fórmula da condução térmica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o calor dissipado por convecção. A fórmula é:
Onde:
- $ h = 10,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot K) $ é o coeficiente de película,
- $ A = 0,0314,\mathrm{m}^2/\mathrm{m} $ é a área superficial,
- $ \Delta T = 150,K $.
Substituindo os valores:
Passo 7
A potência total dissipada é a soma da condução e da convecção:
Passo 8
Agora, igualamos a potência gerada pela corrente à potência dissipada:
Resolvendo para $ I $:
Resposta
A máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo sem que o plástico derreta é aproximadamente
.