Um cabo elétrico de 10 mm de diâmetro tem resistência elétrica por unidade de comprimento de 0,001 Omega / m. e é revestido por uma camada de material plástico de 1 mm de espessura e condutividade térmica 0,20 W / m.K. O cabo vai ser utilizado em uma ambiente cujo ar está na temperatura de 27^circ C, com coeficiente de película de 10 W / m^2.K. Se o plástico usado suporta no máximo 177 ^circ C sem se derreter, determine a máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um cabo elétrico de 10 mm de diâmetro com uma resistência por metro de 0,001 , Omega/m. Esse cabo está revestido por uma camada de plástico de 1 mm de espessura, que tem uma condutividade térmica de 0,20 , W/(mcdot K). O ambiente onde o cabo será usado está a uma temperatura de 27^circ C, e o coeficiente de película (que mede a eficiência da transferência de calor por convecção) é 10 , W/(m^2cdot K). O plástico não pode aquecer mais do que 177^circ C sem derreter. Precisamos descobrir qual é a máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo sem que o plástico derreta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica, geração de calor por efeito Joule, condução térmica e convecção. Vamos calcular o equilíbrio térmico onde o calor gerado pela passagem da corrente é igual ao calor dissipado pelo cabo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área superficial do cabo que está em contato com o plástico. O cabo tem um diâmetro de 10 mm, então o raio $ r $ é de 5 mm ou 0,005 m. A área superficial por metro de comprimento é dada por:
r

Passo 3

Agora, vamos considerar a geração de calor devido à resistência elétrica do cabo. A potência gerada pelo efeito Joule é dada por:
PJou<= = I^2 R
Onde $ I $ é a corrente elétrica e $ R $ é a resistência.
Como a resistência por metro é I , para um metro de cabo temos:
R
Então:
0,001 , Omega/m

Passo 4

Em equilíbrio térmico, o calor gerado pela corrente deve ser igual ao calor dissipado. O calor dissipa de duas formas: condução através do plástico e convecção para o ambiente.
Primeiro, vamos calcular o calor dissipada por condução. A fórmula da condução térmica é:
Pcond = k A De
Onde:
  • $ k = 0,20,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot K) $ é a condutividade térmica do plástico,
  • $ A = 0,0314,\mathrm{m}^2/\mathrm{m} $ é a área superficial,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
  • $ d = 0,001,\mathrm{m} $ é a espessura do plástico (1 mm).

Passo 5

A diferença de temperatura $ \Delta T $ é a diferença entre a temperatura máxima que o plástico suporta e a temperatura ambiente:
De
Substituindo os valores na fórmula da condução térmica:
De

Passo 6

Agora, vamos calcular o calor dissipado por convecção. A fórmula é:
Pconv = h A De
Onde:
  • $ h = 10,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot K) $ é o coeficiente de película,
  • $ A = 0,0314,\mathrm{m}^2/\mathrm{m} $ é a área superficial,
  • $ \Delta T = 150,K $.
Substituindo os valores:
h = 10,W/(m^2cdot K)

Passo 7

A potência total dissipada é a soma da condução e da convecção:
Ptotal = Pcond + Pconv = 942,W/m + 47,1,W/m = 989,1,W/m

Passo 8

Agora, igualamos a potência gerada pela corrente à potência dissipada:
I^2 times 0,001,Omega = 989,1,W/m
Resolvendo para $ I $:
I
I^2 = 989,10,001 = 989100

Resposta

A máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo sem que o plástico derreta é aproximadamente 995,A.

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