designa a massa,
o coeficiente de amortecimento e
o coeficiente de estiramento da mola e
a força externa aplicada ao sistema. Suponha que
e
são constantes positivas,
uma constante não negativa e
(a) Determine a solução geral da EDO quando
que acontece com a solução quando
?
R.:
onde
(a) Determine a solução geral da EDO quando
R.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que estamos vendo trata de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem que descreve um sistema massa-mola-amortecedor sem força externa aplicada. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO quando o coeficiente de amortecimento
é positivo, e também descobrir o que acontece com a solução quando o tempo
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e analisar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO dada:
Aqui,
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento,
é o coeficiente da mola, e
é o deslocamento da massa em função do tempo. Como não temos força externa (
), a equação fica homogênea.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos procurar uma solução do tipo exponencial:
Onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo essa forma na EDO, teremos:
Podemos dividir toda a equação por
(que nunca é zero), ficando:
Passo 4
Essa última equação é chamada de equação característica. Vamos resolvê-la para encontrar
:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Aqui, o discriminante
nos dirá a natureza das raízes.
Passo 5
Como
e
,
são positivos, dependendo do valor de
, teremos diferentes tipos de soluções:
- Se
: duas raízes reais e distintas. - Se
: duas raízes reais e iguais. - Se
: duas raízes complexas conjugadas.
No nosso caso, o exercício assume
, mas não especifica o valor de
. Vamos considerar o caso geral onde
para simplificar.
Passo 6
Assumindo
, as soluções são reais e distintas. Assim, a solução geral da EDO será:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais, e
e
são as raízes encontradas anteriormente.
Passo 7
Vamos substituir as raízes
e
:
Podemos fatorar
da expressão:
Passo 8
Finalmente, definimos
, então a solução pode ser escrita como:
Resposta
A solução geral da EDO quando
é:
onde
. Quando
, o termo
tende a zero, fazendo com que
também tenda a zero.
Exercícios relacionados
onde
e
são constantes. Mostre que:
(a) é solução da EDO de Euler-Cauchy e que as soluções satisfazem
(a)
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
(a)
é contínua em 0 ? Justifique.
(b) é derivável em 0? Justifique.
(b)
(*)
, supondo
.
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de para os quais a EDO tem solução na forma de série em
. Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções
e
são chamadas raízes indiciais;
ii) A relação de recorrência para os (se possível);
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por e
se estas são linearmente independes, assim a solução geral é
. Com estas informações resolva as equações diferenciais:
(a)
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de
ii) A relação de recorrência para os
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por
(a)