designa a massa, o coeficiente de amortecimento e o coeficiente de estiramento da mola e a força externa aplicada ao sistema. Suponha que e são constantes positivas, uma constante não negativa e
(a) Determine a solução geral da EDO quando que acontece com a solução quando ?
R.: onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que estamos vendo trata de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem que descreve um sistema massa-mola-amortecedor sem força externa aplicada. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO quando o coeficiente de amortecimento é positivo, e também descobrir o que acontece com a solução quando o tempo tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e analisar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO dada:
Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, é o coeficiente da mola, e é o deslocamento da massa em função do tempo. Como não temos força externa ( ), a equação fica homogênea.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos procurar uma solução do tipo exponencial:
Onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo essa forma na EDO, teremos:
Podemos dividir toda a equação por (que nunca é zero), ficando:

Passo 4

Essa última equação é chamada de equação característica. Vamos resolvê-la para encontrar :
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Aqui, o discriminante nos dirá a natureza das raízes.

Passo 5

Como e , são positivos, dependendo do valor de , teremos diferentes tipos de soluções:
  • Se : duas raízes reais e distintas.
  • Se : duas raízes reais e iguais.
  • Se : duas raízes complexas conjugadas.
No nosso caso, o exercício assume , mas não especifica o valor de . Vamos considerar o caso geral onde para simplificar.

Passo 6

Assumindo , as soluções são reais e distintas. Assim, a solução geral da EDO será:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais, e e são as raízes encontradas anteriormente.

Passo 7

Vamos substituir as raízes e :
Podemos fatorar da expressão:

Passo 8

Finalmente, definimos , então a solução pode ser escrita como:

Resposta

A solução geral da EDO quando é:
onde . Quando , o termo tende a zero, fazendo com que também tenda a zero.

Exercícios relacionados

onde e são constantes. Mostre que:
(a) é solução da EDO de Euler-Cauchy e que as soluções satisfazem
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
(a) é contínua em 0 ? Justifique.
(b) é derivável em 0? Justifique.
(*) , supondo .
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de para os quais a EDO tem solução na forma de série em . Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções e são chamadas raízes indiciais;
ii) A relação de recorrência para os (se possível);
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por e se estas são linearmente independes, assim a solução geral é . Com estas informações resolva as equações diferenciais:
(a)