A superficie curva circular AB é um quarto de uma circunferência de raio 4 ft . A largura do tanque é de 6 ft . Ache a força resultante total que age na superficie curva. Dado: gammaH 2 O=62,4 lbf / ft^3 2,5 pontos

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície curva que é um quarto de circunferência com raio de 4 pés e a largura do tanque é de 6 pés. Queremos encontrar a força total resultante que age nessa superfície curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente a pressão hidrostática e como ela gera força sobre superfícies imersas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a pressão em um fluido em repouso aumenta com a profundidade. A fórmula para a pressão hidrostática é:
P = gamma cdot h
onde é a pressão, é o peso específico do fluido (dados como ) e é a profundidade.

Passo 3

Como a superfície é curva, vamos considerar um elemento diferencial de área na superfície curva. Vamos usar coordenadas polares para facilitar. Seja h = r cdot sin(theta) o ângulo na circunferência, variando de 0 a h = 4 cdot sin(theta) radianos (já que é um quarto de círculo).
A profundidade em cada ponto da curva vai depender de . Podemos expressar em função do raio e do ângulo :
Com , temos:

Passo 4

A área diferencial dA = r cdot dtheta cdot w em coordenadas polares é dada por:
dA = 4 cdot dtheta cdot 6 = 24 cdot dtheta , ft^2
onde é a largura do tanque. Substituindo :

Passo 5

A força diferencial dF = P cdot dA = gamma cdot h cdot dA = 62,4 cdot 4 cdot sin(theta) cdot 24 cdot dtheta é a pressão dF = 62,4 cdot 4 cdot 24 cdot sin(theta) cdot dtheta = 5990,4 cdot sin(theta) cdot dtheta , lbf multiplicada pela área diferencial :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar a força total F = integral0^pi2 5990,4 cdot sin(theta) , dtheta , integramos F = 5990,4 cdot [ -cos(pi2) + cos(0) ] = 5990,4 cdot (0 + 1) = 5990,4 , lbf de a :
A integral de é , então:

Resposta

A força total resultante que age na superfície curva é de aproximadamente 5990,4 lbf.

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