A superficie curva circular AB é um quarto de uma circunferência de raio 4 ft . A largura do tanque é de 6 ft . Ache a força resultante total que age na superficie curva. Dado:
pontos
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície curva que é um quarto de circunferência com raio de 4 pés e a largura do tanque é de 6 pés. Queremos encontrar a força total resultante que age nessa superfície curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente a pressão hidrostática e como ela gera força sobre superfícies imersas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a pressão em um fluido em repouso aumenta com a profundidade. A fórmula para a pressão hidrostática é:
onde
é a pressão,
é o peso específico do fluido (dados como
) e
é a profundidade.
Passo 3
Como a superfície é curva, vamos considerar um elemento diferencial de área na superfície curva. Vamos usar coordenadas polares para facilitar. Seja
o ângulo na circunferência, variando de 0 a
radianos (já que é um quarto de círculo).
A profundidade
em cada ponto da curva vai depender de
. Podemos expressar
em função do raio
e do ângulo
:
Com
, temos:
Passo 4
A área diferencial
em coordenadas polares é dada por:
onde
é a largura do tanque. Substituindo
:
Passo 5
A força diferencial
é a pressão
multiplicada pela área diferencial
:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a força total
, integramos
de
a
:
A integral de
é
, então:
Resposta
A força total resultante que age na superfície curva é de aproximadamente 5990,4 lbf.