Numa superficie hemisférica lisa, um corpo fica em equilfbrio instável no ponto mais alto, A. Deslocado ligeiramente de A, o corpo desliza sobre a superficie. A aceleração gravitacional é g. Determinar a altura do ponto B em que o corpo abandona a superficie.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um corpo que está parado no ponto mais alto de uma superfície hemisférica lisa, chamado de ponto A. Esse corpo está em equilíbrio instável lá, ou seja, se você der uma empurradinha nele, ele começa a deslizar. Nosso objetivo é descobrir até que altura, em um ponto que vamos chamar de B, esse corpo vai deslizar antes de sair da superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força centrípeta e conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o corpo sair da superfície. Isso acontece quando a força normal que a superfície exerce sobre o corpo se torna zero. Ou seja, a única força agindo no corpo será a gravidade.

Passo 3

Vamos considerar que a superfície é uma semicircunferência com raio . Quando o corpo está em qualquer ponto da trajetória, ele tem duas forças agindo: a força gravitacional (para baixo) e a força normal (perpendicular à superfície).

Passo 4

No ponto B, onde o corpo sai da superfície, a força normal mv^2R = mg cos theta será zero. Então, a única força que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular será a componente da gravidade. A equação fica:
onde:
  • é a velocidade do corpo no ponto B,
  • é o ângulo entre a vertical e a posição do ponto B.

Passo 5

Agora, vamos usar a conservação da energia para encontrar a velocidade EA = mgR no ponto B. No ponto A, toda a energia é potencial:
EB = mg(R cos theta) + 12mv^2
No ponto B, a energia é composta pela energia potencial e pela energia cinética:
mgR = mg(R cos theta) + 12mv^2
Como a energia se conserva:
gR = gR cos theta + 12v^2
Simplificando:
12v^2 = gR(1 - cos theta)
v^2 = 2gR(1 - cos theta)

Passo 6

Agora, substituímos m cdot 2gR(1 - cos theta)R = mg cos theta na equação da força centrípeta:
2g(1 - cos theta) = g cos theta
Simplificando 2 - 2cos theta = cos theta e 2 = 3cos theta :
cos theta = 23

Passo 7

Com h = R cos theta = R cdot 23 = 2R3 , podemos encontrar a altura do ponto B em relação ao centro da semicircunfer��ncia:

Resposta

A altura do ponto onde o corpo abandona a superfície é , onde é o raio da superfície hemisférica.

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