Numa superficie hemisférica lisa, um corpo fica em equilfbrio instável no ponto mais alto, . Deslocado ligeiramente de , o corpo desliza sobre a superficie. A aceleração gravitacional é . Determinar a altura do ponto em que o corpo abandona a superficie.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um corpo que está parado no ponto mais alto de uma superfície hemisférica lisa, chamado de ponto A. Esse corpo está em equilíbrio instável lá, ou seja, se você der uma empurradinha nele, ele começa a deslizar. Nosso objetivo é descobrir até que altura, em um ponto que vamos chamar de B, esse corpo vai deslizar antes de sair da superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força centrípeta e conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o corpo sair da superfície. Isso acontece quando a força normal que a superfície exerce sobre o corpo se torna zero. Ou seja, a única força agindo no corpo será a gravidade.

Passo 3

Vamos considerar que a superfície é uma semicircunferência com raio . Quando o corpo está em qualquer ponto da trajetória, ele tem duas forças agindo: a força gravitacional (para baixo) e a força normal (perpendicular à superfície).

Passo 4

No ponto B, onde o corpo sai da superfície, a força normal será zero. Então, a única força que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular será a componente da gravidade. A equação fica:
onde:
  • é a velocidade do corpo no ponto B,
  • é o ângulo entre a vertical e a posição do ponto B.

Passo 5

Agora, vamos usar a conservação da energia para encontrar a velocidade no ponto B. No ponto A, toda a energia é potencial:
No ponto B, a energia é composta pela energia potencial e pela energia cinética:
Como a energia se conserva:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos na equação da força centrípeta:
Simplificando e :

Passo 7

Com , podemos encontrar a altura do ponto B em relação ao centro da semicircunfer��ncia:

Resposta

A altura do ponto onde o corpo abandona a superfície é , onde é o raio da superfície hemisférica.

Exercícios relacionados

Um bloco de é arrastado sobre uma superfície horizontal áspera por uma força de que faz um ângulo de acima da horizontal. A distância entre dois pontos da superffcie chamados e é . O bloco passa por , chegando em com velocidade . O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é 0,300 . A aceleração local da gravidade é . a) Determinar o trabalho total das forças que atuam sobre o bloco no seu deslocamento de até . b) Determinar a velocidade do bloco no momento em que passa pelo ponto .
Um automóvel de massa parte do repouso e , depois de , está com velocidade de . Pede-se: a) o trabalho realizado pela força resultante nesse intervalo; b) a potência média correspondente.
Fig. 7-31, uma força horizontal de módulo 200 N ê aplicada a um livro de psicologia de enquanto o livro escorrega por uma distancia in ao longo de uma rampa de inclinação , subindo sem atrito. (a) Nesse deslocamento. qual é o trabalho total realizado sobre o livro por , pela forca
FIG. 7-31 Problema 20 , gravitacional e pela força normal? (b) Se o livro tem energia cinética nula no início do deslocamento, qual é sua energia cinética no final?
Começando pela definição , calcule o número de (a) quilômetros em 1,00 milha e (b) pés em 1,00 km.