Determine a área da superfície.
9. A superfície
9. A superfície
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar a área de uma superfície definida por
, onde
e
variam de 0 a 1. Isso tá na área de Cálculo, especificamente em cálculo de áreas de superfícies usando integrais múltiplas. Precisamos usar a fórmula da área da superfície para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície
. A fórmula é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
é a região de integração, que no nosso caso é
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Temos:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da área da superfície:
Passo 5
Para resolver essa integral dupla, vamos primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
:
Vamos fazer a substituição
, então
. Quando
,
e quando
,
. A integral interna vira:
Agora, substituímos de volta na integral:
Essas integrais podem ser resolvidas por substituição novamente. Vamos calcular cada uma separadamente.
Para
, fazemos
, então:
Para
, fazemos
, então:
Substituindo de volta:
Calculando nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois resultados e multiplicando por
, obtemos o valor final aproximado da área.
Resposta
A área da superfície é aproximadamente
unidades quadradas.