Determine a área da superfície.
9. A superfície z = 2/3 (x^(3/2) + y^(3/2)), 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar a área de uma superfície definida por , onde e variam de 0 a 1. Isso tá na área de Cálculo, especificamente em cálculo de áreas de superfícies usando integrais múltiplas. Precisamos usar a fórmula da área da superfície para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície . A fórmula é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e é a região de integração, que no nosso caso é e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de . Temos:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da área da superfície:

Passo 5

Para resolver essa integral dupla, vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a :
Vamos fazer a substituição , então . Quando , e quando , . A integral interna vira:
Agora, substituímos de volta na integral:
Essas integrais podem ser resolvidas por substituição novamente. Vamos calcular cada uma separadamente.
Para , fazemos , então:
Para , fazemos , então:
Substituindo de volta:
Calculando nos limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo os dois resultados e multiplicando por , obtemos o valor final aproximado da área.

Resposta

A área da superfície é aproximadamente unidades quadradas.

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