A superfície do Sol está a uma temperatura aproximada de 6 * 10^wed>= 3 enquanto a superfície da estrela supergigante Betelgeuse está a uma temperatura aproximada de 3 * 10^wed>= 3 K. Suponha que ambas as estrelas irradiem como corpos negros perfeitos. (a) A radiância espectral é definida como a energia irradiada por unidade de tempo e por unidade de área da superfície de um corpo no intervalo de comprimentos de onda entre lambda e lambda+d lambda. Qual é a razão entre o comprimento de onda para o qual a radiância espectral do Sol é máxima e o comprimento de onda correspondente para Betelgeuse?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas estrelas: o Sol, com uma temperatura de superfície de aproximadamente K, e Betelgeuse, uma supergigante com temperatura de superfície de cerca de K. Ambas irradiam como corpos negros perfeitos. A pergunta quer saber qual é a razão entre os comprimentos de onda nos quais a radiância espectral dessas estrelas atinge seu valor máximo.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei do Deslocamento de Wien, que relaciona a temperatura de um corpo negro com o comprimento de onda no qual a emissão de energia é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a radiância espectral máxima. De acordo com a Lei de Wien, o comprimento de onda ( lambdamáx times T = b á) no qual a radiância espectral de um corpo negro é máxima está inversamente relacionado à temperatura absoluta ( ) desse corpo. A fórmula da Lei de Wien é:
á
Onde é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente igual a m·K.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para as duas estrelas. Primeiro, para o Sol:
lambdamáx, Sol = bTSol á
Substituindo os valores:
lambdamáx, Sol = 2,897 times 10^-3 m·K6 times 10^3 K = 2,897 times 10^-36 times 10^3 = 4,828 times 10^-7 m (ou 482,8 nm) á

Passo 4

Agora, para Betelgeuse:
lambdamáx, Betel>=use = bTBetel>=use á
Substituindo os valores:
lambdamáx, Betel>=use = 2,897 times 10^-3 m·K3 times 10^3 K = 2,897 times 10^-33 times 10^3 = 9,657 times 10^-7 m (ou 965,7 nm) á

Passo 5

Agora, queremos a razão entre os comprimentos de onda máximos do Sol e de Betelgeuse:
Razão = lambdamáx, Sollambdamáx, Betel>=use = 4,828 times 10^-7 m9,657 times 10^-7 m = 0,5 ãáá

Resposta

A razão entre o comprimento de onda para o qual a radiância espectral do Sol é máxima e o comprimento de onda correspondente para Betelgeuse é 0,5.

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